Nghiên Cứu Lịch Sử

Fukugawa Hidetoshi

Tony Rothman

Nguyễn Hữu Anh dịch

Bản kẽm 2.1. Hình minh họa một người đàn ông đang đo chiều cao một  thân cây dùng lượng giác cơ bản, được lấy ra từ một bản in của cuốn Jinko-ki xuất bản giữa 1818 và  1829, nhưng như hầu hết bài toán trong Jinko-ki, nó có xuất xứ từ Trung Hoa. Bài toán yêu cầu một tiều phu có thể dùng hai cách hoặc lượng giác hoặc đồng dạng (so sánh chiều cao thân cây với độ dài một đoạn tre) để tính chiều cao của cây. So sánh bài toán  2-3 trong chương này.

(Sưu tầm của Fukagawa Hidetosh

 

Hai : 

Nền Tảng Trung Hoa trong Toán Học Nhật Bản

 

Tôi có nghe nói Ngài rất thiện xảo trong nghệ thuật toán số, vậy xin mạn phép được hỏi. Vào thời cổ đại Fu-Fsi đã đo trời và định ra niên lịch. Nhưng nào có thang để bước được đến trời, và đất thì rộng mênh mông không sao đo được bằng thước. Vậy xin hỏi Ngài, đâu là nguồn gốc của những số này?

 

Hiểu được sự phát triển của toán học Nhật Bản là đánh giá đúng toán học Trung Quốc đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến nó. Trong chương này ta sẽ xem xét vắn tắt toán học Trung Quốc thời cổ và trung cổ, và trình bày một số bài toán từ các giáo trình Trung Quốc cổ điển. Các bài toán này thú vị không chỉ bởi vì chúng cho ta một khái niệm về trình độ toán học của Trung Quốc của thời xa xưa, nhưng còn hé mở một khung cảnh của một xã hội mà cuộc sống hàng ngày xoay quanh gạo, ngựa, buôn bán, và bàn toán. Đôi khi bài toán cũng ẩn chứa các mẹo tính, nhưng hầu hết chúng không khó, hợp với trình độ các học sinh cấp 1 hay 2.

 

Quyển sách xưa nhất và quan trọng nhất về toán học là Chu Bễ Toán Kinh, hay là Số Học Cổ Điển của Gnomon và Đường Vòng lên Thiên Đình. Tác giả và niên lịch của Chu Bể vẫn là bí ẩn. Mọi chứng cứ thật ra chỉ rõ rằng các học giả đã bổ sung nguyên bản khi thời gian trôi qua nhiều thế kỷ. Một cuộc đối thoại nổi tiếng ở đầu sách Chu Bễ xảy ra giữa thái tử, Zhou-Kong, và thầy học uyên bác của ông, Shang Kao. Zhou Kong mất vào năm 1105 B.C., nhưng sự xuất hiện của ông trong vai trò một người tham gia đối thoại không hẳn là một chỉ dẫn của ngày tháng của bài nói chuyện mà là một minh chứng về thi ca. Hầu hết các học giả tin rằng bộ sách được hoàn tất khoảng thế kỷ thứ hai hay thứ ba B.C. mặc dù một vài nghiên cứu gần đây đã đề nghị là nó chỉ được hoàn thiện vào thế kỷ thứ nhất A.D. Cuốn Chu Bễ không phải là một giáo trình toán mà học sinh ngày nay công nhận. Ký hiệu toán học hầu như không tồn tại và hầu hết khái niệm đều phát biểu bằng lời. Có một phần bàn cải về cột đồng hồ mặt trời, một thanh gỗ dựng thẳng sâu trong đất tạo nên bóng đổ nhờ đó đo được chiều cao của mặt trời. tổng quát, Chu Bễ bàn nhiều về thiên văn và làm lịch, bao gồm các bản đồ các vì sao gần cực trái đất.

 

Mặt khác, Chu Bễ sử dụng phân số, và các phép nhân và chia phân số, và mặc dù phép khai phương chưa được giải thích rõ ràng, giáo trình vẫn cho thấy căn bậc hai được dùng đến. Điều làm ta thú vị nhất là vào đầu sách, trong cuộc đối thoại giữa Zhou-Kong và Shang Kao, ta tìm thấy phần thảo luận về tam giác vuông 3-4-5. Mặc dù khoác một loại ngữ cảnh khó hiểu, ta thấy ngay là người Trung Hoa biết được định lý Pitago, tổng bình phương hai cạnh một tam giác vuông thì bằng bình phương cạnh thứ ba. Nhưng định lý không được chứng minh một cách tổng quát. Phần này của Chu Bễ được coi là xưa nhất khoảng thế kỉ thứ sáu B.C- coi như đồng thời với Pitago khám phá ra định lý mang tên ông ở Hy Lạp.

 

Theo quan điểm chúng tôi tác phẩm quan trọng nhất là Cửu Chương Toán Thuật. Thêm một lần nữa, niên lịch và tác giả vẫn không biết được, mặc dù phần lớn các chuyên gia có vẻ tin tưởng nó được hoàn tất vào khoảng cuối thế kỷ thứ hai hoặc đầu thế kỷ thứ ba A.D. Cửu Chương chứa tổng cộng 246 bài toán liên quan đến việc đo đạc, xây dựng, và tính thuế, và những việc khác nữa, có sử dụng phân số, cấp số cộng và nhân và giải hệ phương trình. Chương thứ tám có nhắc đến số âm, và chương cuối cùng là “Gou Gu”, hay “Chiều Rộng và Chiều Cao của Tam Giác Vuông,” trong đó hai mươi bốn bài toán về định lý Pitago được giới thiệu. Chúng tôi chép lại một ít bài bên dưới.

Bản kẽm 2.2. Hình này trong Chu Bễ Toán Kinh cho thấy người Trung Hoa hiểu được định lý Pitago rất sớm, nhưng không có chứng minh một cách tổng quát.

 

Trong chương này cũng có một phát biểu sớm về phương trình bậc hai và công thức nghiệm của nó. Đây không phải là phát hiện xưa nhất, bởi vì theo các sử gia, người Ai Cập đã bắt đầu nghiên cứu bậc hai trước 2000 B.С.

 

Cũng cần nói thêm là, mặc dù ta nói Cửu Chương là một quyển sách, thật ra nội dung Cửu Chương được ghi lại trên những thẻ tre, mỗi thẻ rộng 2 cm, dài 25 cm. Vào tháng bảy 2002 các tờ báo Nhật loan tin đã khai quật được khoảng hai mươi ngàn thanh gỗ và tre có niên đại từ 221-206 B.C., trên một số thanh có khắc bản cửu chương. Niên đại này cùng thời với bản Chu Bể Toán Kinh sớm hơn. Và mặc dù ở Trung Quốc giấy đã được sử dụng khoảng từ 105 A.D., Cửu Chương có sau hình như cũng được “in” trên thẻ tre.

 

Chu Bễ Toán Kinh là giáo trình Trung Quốc có ảnh hưởng nhất, đưa đến một số sách khác cũng đạt được một ít tiếng tăm qua nhiều thế kỷ. Một trong những sách này là Tôn Tử Toán Kinh. (Không nên lầm với nhà binh pháp lừng lẫy trước tác ra Tôn Tử Binh Pháp, sống trong khoảng thế kỷ thứ sáu đến thứ tư B.C. trong khi nhà toán học Tôn Tửchắc chắn sống trong thế kỷ thứ năm A.D.) Giữa 618 A.D và 901 A.D., Chu Bễ, Cửu Chương và Toán Kinh, cùng với bảy cuốn khác, được nhà nước xếp vào giáo trình, và từ 1078 đến 1085 chúng được in cùng với Thập Kinh.

 

Một số sách Trung Quốc quan trọng hơn xuất hiện trong thế kỷ mười ba. Một, cuốn Luận Thuyết Toán Học Cửu Chương của Chin Chiu-Shao, chứa số 1 coi như “đơn vị gốc của trời”, cũng như ký hiệu số không và có phân biệt rõ ràng số dương và số âm. Mặc dù tựa quyển sách chỉ đến bản gốc Cửu Chương, chín chương này không giống ở Cửu Chương gốc. Quan trọng hơn đối với toán học truyền thống Nhật Bản là cuốn Nhập Môn Nghiên Cứu Toán Học của Chu Shih-Chieh từ đó chúng tôi trích ra một số bài toán.

 

Như đã bàn trong chương 1, vào đầu thế kỷ thứ tám, nhà nước Nhật giới thiệu Cửu Chương và tám cuốn khác vào chương trình toán học của hệ thống đại học. Một số cuốn sau này có thể cùng tìm đường vào đất Nhật trước thế kỷ mười bảy, nhưng có ít bằng chứng cách này hay cách khác. Nhưng chỉ vào thời điểm bàn toán Trung Quốc (suan phan) du nhập vào đất nước Phù Tang, thông tin đó mới trở nên xác thực hơn. Nguồn gốc của bàn toán cũng bao trùm trong màn sương mù của thời gian và gây nhiều tranh cãi. Mô tả đầu tiên đầy đủ và hiện đại của bàn toán được tìm thấy trong cuốn Luận Thuyết Hệ Thống về Số Học năm 1593 của Cheng Da-Wei. Niên đại sớm sủa này đã khiến các sử gia biện bác rằng bàn toán chỉ được biết đến ở Trung Quốc trong những thời điểm tương đối gần hơn, một số mô tả thuyết phục cho là vào khoảng 1513, 1436, và ngay cả có ý kiến cho là vào thế kỷ thứ sáu hoặc sớm hơn nữa. Một hình vẽ bàn toán được in trong một cuốn sách toán Trung Hoa vào năm 1371, chứng tỏ rằng bàn toán đã ra đời trước đó. Một giả thuyết hợp lý là các que tính đề cập ở chương 1, tức bàn toán suanzi (sangi), dần dần biến thể thành bàn toán soroban.

 

Cuốn Luận Thuyết của Cheng Da-Wei có ảnh hưởng lớn đến toán học Trung Hoa lẫn Nhật Bản. Cheng (1533-1606) vốn là một quan chức địa phương, nên cần nắm vững cách sử dụng suan phan, nên ông đã dành hẳn hai chương đầu để giới thiệu các phép tính cơ bản trên bàn toán. Đối với chín chương tiếp theo, ông đặt tựa như trong cuốn Cửu Chương, nhưng ông có bổ sung hình vuông thần bí, ống sáo, công thức được diễn giải dưới dạng các câu thơ, và hầu như mợi thứ ông có thể nghĩ ra.

 

Quyển sách vẫn rất thông dụng ở Trung Quốc sau hàng thế kỷ, và đến tận năm 1964 còn được tái bản, khi các lão gia còn thích ngâm nga những công thức toán.

 

Với tiếng tăm như thế ở Trung Hoa, không lạ khi thấy quyển sách này của Cheng đã mau chóng biến đổi bước đi của toán học Nhật Bản. Ta đã biết rằng cuốn Luận Thuyết đã tạo cảm hứng cho Mori viết cuốn Phép Chia Dùng Soroban và Yoshida với tác phẩm Jingko-ki thành công quá sức tưởng tượng. Ảnh hưởng của Luận Thuyết, cũng như của các tác phẩm cổ điển khác của Trung Quốc, tiếp tục cho đến tận thế kỷ mười chín. Năm 1676 Yuasa Ichirozaemon cho ra mắt ấn bản của Luận Thuyết bằng tiếng Nhật. Gần hai mươi năm trước, năm 1658, Haji Doun đã in 1299 Nhập Môn của Zhu Shijie bằng tiếng Nhật. Và năm 1690 Takebe Katahiro (1664-1739) cho ra đời một ấn bản với số lượng lớn cũng quyển sách trên. Cho mãi đến năm 1824, nhà toán học Nhật Kitagawa Moko (1763-1833) còn dự định in một bản dịch của cuốn Jiu zhang, nhưng không thành, chỉ để lại bản thảo.

 

Để cung cấp một khái niệm đúng đắn hơn cho hương vị của những tác phẩm vĩ đại của Trung Quốc mà cho đến tận bây giờ vẫn còn lạ lẫm đối với người phương Tây, chúng tôi giới thiệu một số bài toán trong các bộ sách ấy. Giữa các tác giả có nhiều vay mượn qua lại. Chúng tôi đã lược bỏ những phần lặp lại, nhưng vẫn còn lại những bài toán tương tự qua nhiều thế kỷ, phản ảnh một thực tế của nhu cầu luyện tập, chứ không phải do biên tập thiếu sót. Bạn cũng chú ý là các tựa chương không luôn luôn tương ứng xít xao với nội dung bài toán chứa trong đó.

 

1. Cửu Chương Thuật Toán

Chín chương của tác phẩm nổi tiếng này chứa tất cả 246 bài toán. Chúng tôi chỉ giới thiệu mỗi chương một bài. Hầu hết đều là những bài dễ và chúng tôi hy vọng các học sinh hiện nay không gặp mấy khó khăn khi giải chúng. Đáp số thường là những phân số, và bạn cần biết rằng trong toán học Trung Hoa cổ, chỉ có phân số là dùng cho các số không nguyên, vì số thập phân không được biết đến.

 

Bài toán 1-1

(Từ chương 1 của Jiu zhang: ” Đo đạc đồng ruộng.”

Chúng ta bước đi quanh một mảnh ruộng hình tròn và đo được chu vi 181 bu (= 208.15m) và đường kính của nó là (60 + 1/3) bu (= 69.38 m). Tìm giá trị của π = chu vi / đường kính và diện tích của miếng đất dưới dạng phân số.

 

Trong bản in lại 263 A.D. cuốn Cửu Chương, nhà chú giải Liu Hui (220-265) ghi chú là π = 157/50 = 3.14 là giá trị tốt hơn π = 3 Một bài toán khác từ chương 1 của Cửu Chương được Yoshida cho vào Jingko-ki, và chúng tôi chọn nó làm bài tập 1 trong chương 3.

 

Bài toán 1-2

(Từ chương 2 của Jiu zhang: “Tỷ lệ”)

50 sho bo bo đổi được 27 sho gạo. Ta có 21 sho bo bo, vậy đổi được bao nhiêu sho gạo?

 

Bài Toán 1-3

(Từ chương 3 của Jiu zhang: “Phân phối.”)

Đây là chuyện của một chuyên gia dệt. Nàng dệt một số lượng vãi nào đó trong ngày thứ nhất, gấp hai lần số đó trong ngày thứ hai, rồi lại gấp hai lần trong ngày thứ ba, và cứ thế. Trong năm ngày, nàng dệt được tất cả 5 syaku vãi. Hỏi ngày thứ nhất nàng dệt bào nhiêu syaku vãi?

 

Bài Toán 1-4

(Từ chương 4 của Jiu zhang: “Tính Diện Tích Mảnh Ruộng.”)

Cho biết diện tích A của mảnh ruộng là hình chữ nhật là 240 bu vuông, trong đó x bu là chiều rộng và y bu là chiều dài. Với mỗi x bên dưới tìm y tương ứng bằng phân số”

(1) x = 1

(2) x = 1 + 1/2

(3) x = 1 + 1/2 + 1/3

(4) x = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4

(5) x = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

(6) x = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

 

Bài Toán 1-5

(Từ chương 5 của Jiu zhang: “Giá Trị của Những Khối Khác Nhau”

Dọc theo con sông, ta đắp một bờ đất có chiều dài 127 syaku với chiều rộng ở đáy là 20 syaku, chiều rộng ở mặt trên là 8 syaku và chiều cao 4 syaku.

(1) Tìm thể tích luống đất.

(2) Vào mùa đông, một nông dân có thể đắp tổng cộng 444 syaku khối đất. Hỏi cần bao nhiêu nông dân mới đắp được bờ đất trong một mùa?

 

Bài Toán 1-6

(Từ chương 6 của Jiu zhang: “Tiền Lương”

Một hôm một khách du lịch khởi hành một chuyến đi, y mang theo một số kin (đơn vị tiền tệ cổ) để trả thuế. Trên đường, y phải đi qua năm chốt kiểm soát A, B, C, D và E. Qua điểm A, y trả phân nửa số kin mang theo. Qua điểm B y trả 1/3 số kin còn lại. Tại điểm C y trả ¼ số kin còn lại sau khi qua B, và tương tự ở các chốt D và E. Cuối cùng y thấy mình đã nộp thuế cả thảy là 1 kin. Hỏi y đã mang theo bao nhiêu kin ?

 

Bài Toán 1-7

(Từ chương 7 của Jiu zhang: “Dư và Thiếu.”)

Một nhánh dây dưa mỗi ngày mọc dài ra 7 sun. Một dây leo khác mỗi ngày mọc dài ra 10 sun. Trong cùng một ngày dây dưa mọc xuống một vách đá cao 90 sun, còn dây leo mọc từ đáy vách đá lên. Hỏi sau bao nhiêu ngày hai dây gặp nhau?

 

Bài Toán1-8

(Từ chương 8 của Jiu zhang: “Hệ phương trình bậc nhất.”)

Giả sử mỗi nhánh lúa trên cây lúa giống A, B và C sản sinh ra a, b và c to lúa theo thứ tự. Tổng sản lượng lúa từ hai nhánh giống A, ba nhánh giống B, và một nhánh giống C là 34 to, và tổng sản lượng lúa từ một nhánh giống A, hai nhánh giống B và ba nhánh giống C là 26 to. Tìm a, b, và c.

 

Bài Toán 1-9

(Từ chương 9 của Jiu zhang: “Tam Giác Vuông.”)

Một thân tre cao 10 syaku bị gãy tại điểm Q và rơi xuống sao cho ngọn của nó chạm mặt đất tại điểm T. khoảng cách từ gốc P đến T là 3 syaku. Tìm khoảng cách PQ.

 

Đây là bài toán nổi tiếng, xuất hiện lần đầu tiên trong Jiu zhang rồi sau đó trong một số sách của Trung Quốc, kể cả Jiuzhang Suanfa của Yang Hu và cuốn Suanfa Tong Zong của Cheng Da Wei.

 

Đáp số suy ngay từ định lý Pitago: nếu gọi x là khoảng cách PQ thì

 

x²+ 32 =(10 – x)². Giải ta được x = 91/20 = 4 + 11/20 syaku.

Bản kẽm 2.3. Minh học định lý Pitago bằng một thân tre gẫy, bài toán nổi tiếng này từ Cửu Chương được in lại trong nhiều giáo trình. Ở đây bài toán được trích ra từ cuốn Jiuzhang Suanfa khoảng A.D. 1261.

 

2. Tôn Tử Toán Kinh

Thế Kỷ Thứ Năm A.D.

Tôn Tử Toán Kinh gồm ba tập. Tập thứ nhất nói về số học sơ đẳng, chúng tôi không trình bày ở đây. Chúng tôi chỉ trích ra non nửa chục bài thú vị từ tập hai và ba. Trong đó có bài toán nổi tiếng về “định lý số dư Trung Hoa”, lấy làm bài toán 2-6 bên dưới.

 

Bài Toán 2-1

Ta đắp một bờ đất dài 5550 syaku với đáy trên dài 20 syaku, đáy dưới dài 54 syaku và chiều cao là 38 syaku. Một người lao động có thể đắp 300 syaku khối đất trong một mùa. Hỏi cần bao nhiêu lao động để đắp bờ đất trong một mùa.

 

Bạn có thể thấy bài này được lấy ra từ Jiu zhang (bài 1-5 ở trước) và được giải tương tự.

Bài Toán 2-2

Một bọn ăn trộm lấy được một cuộn vải dài từ nhà kho. Đến bụi rậm xa nhà kho, chúng đo chiều dài cuộn vải. Nếu mỗi tên lấy 6 hiki, thì còn dư 6 hiki, nhưng nếu mỗi đứa lấy đến 7 hiki thì tên trộm cuối cùng không được miếng vải nào. Tìm số tên trộm và chiều dài tấm vải.

(hiki là một đơn vị độ dài khác, thường dùng để đo vãi vóc; 1 hiki = 4.7 m.)

 

Bài toán ăn trộm này cũng xuất hiện trong Jinko-ki của Yoshida năm 1631.

Bản kẽm 2.4. Bài toán trộm vãi xuất hiện trong cuốn Jinko-ki in năm 1643, nhưng thật ra nó được lấy từ Tôn Tử Toán Kinh.

 

Bài Toán 2-3

Chúng ta muốn đo chiều cao một cây cao có bóng đổ dài 15 syaku. Gần cây, ta dựng một đoạn tre cao 1.5 syaku và đo bóng của nó là 0.5 syaku. Tìm chiều cao của cây.

 

Bài toán này cũng xuất hiện trong nguyên bản Jinko-ki in năm 1627.

 

Bài Toán 2-4

Trong lồng nhốt gà và thỏ. Tổng số đầu gà và thỏ là 35 và tổng số chân gà và thỏ là 94. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu thỏ?

 

Bài toán gà-thỏ xuất hiện trong Inki Sanka in năm 1640 (chương 3).

 

Bài Toán 2-5

Trên đỉnh đồi có chín hàng cây, mỗi hàng có chín cây, mỗi cây có chín cành. Trên mỗi cành có chín tổ chim, trong mỗi tổ chim có chính con quạ, mỗi quạ có chín quạ con. Mỗi quạ con có chín lông và mỗi lông có chín màu. Hỏi có bao nhiêu cây, bao nhiêu cành, bao nhiêu tổ, bao nhiêu quạ, quạ con, lông và màu?

 

Bài Toán 2-6

(Đây là định lý số dư Trung Hoa.)

Có một số chưa biết các đồ vật. Nếu đếm từng ba món, thế thì còn dư hai; nếu đếm từng năm món, còn dư ba; nếu đếm từng bảy món, còn dư hai. Hỏi có cả thảy bao nhiêu món đồ?

 

Đây là mẫu bài toán nổi tiếng xuất hiện dưới nhiều hình thức trên khắp thế giới. Một phiên bản rõ ràng ở thời trung cổ là:”Một bà lão đi ra chợ bán trứng, một con ngựa vô tình đạp vào giỏ của bà và làm dập nát trứng. Người cưỡi ngựa muốn đền bù thiệt hại cho bà nên hỏi giỏ bà đựng bao nhiêu trứng. Ba không nhớ chính xác số trứng, chỉ nhớ khi sắp ra giỏ từng cặp trứng thì còn dư một. Kết quả cũng như thế khi ba sắp từng ba, bốn, năm và sáu trứng. Nhưng khi sắp một lần bảy trứng thì không dư trứng nào. Hỏi số trứng nhỏ nhất mà bà mang ra chợ có thể là bao nhiêu?

 

Nguyên bản của Tôn Tử quan trọng vì nó cung cấp một phương pháp giải dựa vào Định lý Số dư Trung Hoa như sau:

 

Giả sử ta cần tìm một số thỏa mãn nhiều điều kiện chia có dư, chẳng hạn:

N chia m₁   dư r₁

N chia m₂   dư r₂

N chia m₃   dư r₃

 

Nếu các số chia m₁, m₂ , m₃  đôi một nguyên tố cùng nhau (tức là không có ước chung nào lớn hơn 1), thì:

 

Định lý Số dư Trung Hoa: Có vô số số N thỏa mãn tất cả các điều kiện trên; hơn nữa, tất cả các số thỏa mãn đều cách nhau một bội của m₁ m₂ m₃.

 

Áp dụng để giải bài toán trên. Tìm một số chia 3 dư 2, chia 5 dư 3, chia 7 dư 2.

Ba số chia là 3, 5, 7 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Trước hết ta liệt kê những số chia 3 dư 2: 5, 8, 11, 14 …(cách nhau 3).

Trong đó số 8 là số đầu tiên thỏa mãn hai điều kiện đầu. Theo định lý số dư Trung Hoa, các số tương tự cách nhau 3 x 5 = 15

Do đó tất cả các số thỏa mãn hai điều kiện đầu là: 8, 23, 38, 53,….

Kiểm tra dãy số này, ta có ngay số 23 là số nhỏ nhất thỏa mãn luôn điều kiện thứ ba là chia 7 dư 2. Vậy, muốn có những số tương tự, ta chỉ cần cộng 23 với một bội số của 3 x 5 x 7 = 105.

 

3. Nhập Môn Nghiên Cứu Toán Học Của Zhu Shijie, 1299

 

Như đã đề cập trong phần giới thiệu của chương này, nhà toán học Nhật Haji Doun cho in một bản dịch của tác phẩm này ra tiếng Nhật vào năm 1658. Nguyên bản Trung Hoa gồm ba tập với tổng cộng 259 bài toán.

 

Trong tập 1, tác giả luận bàn về những giá trị khác nhau của số π. Zhu Shijie gọi giá trị π = 3 là “số π cổ lỗ) và tiếp tục khảo sát những tiến bộ của quá trình tính số π qua nhiều thế kỷ. Ông đề cập đến nhà toán học Liu Hsin, người đã dùng giá trị 3.154 trong thập niên đầu tiên của thế kỷ thứ nhất A.D. mặc dù không có ghi chép làm sao có được giá trị này. Zhu Shijie cũng nhắc đến Liu Hui, người mà vào năm 263 A.D. dùng đa giác có 192 cạnh để đến được kết quả π = 157/50 = 3.14 (xem bài toán 1-1).

 

Trong thế kỷ thứ năm Zu Chongzhi (429-500) và con trai ông Zu Geng đến được giá trị của π ở giữa 3.1415926 và 3.1415927. Mặc dù Zhu Shijie không luận bàn tất cả những khám phá này một cách chi tiết, các nhà toán học sau này xác nhận độ chính xác của kết quả Zhu đưa ra bằng cách sử dụng đa giác có đến 16,384 cạnh. Hơn một ngàn năm sau, đến năm 1600 các nhà toán học Tây phương mới tìm được những giá trị của π xấp xỉ bằng giá trị của Zhu.

 

Trong tập hai của Zhu Shijie, ta tìm thấy những phương pháp tính diện tích hay thể tích của những hình khác nhau. Tập ba trình bày một phương pháp số để tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc cao. Nhiều thế kỷ sau đó ở phương Tây, phương pháp này được biết đến dưới tên “phương pháp Horner”, theo tên một nhà giáo Anh William Horner (1786-1837) đã xuất bản nó vào năm 1830. Tuy nhiên, Horner bị kết án là đã “đạo” phương pháp này từ một thợ đồng hồ London, Theophilius Holdred, đã xuất bản nó năm 1820. Nhưng cả hai người này đều tụt hậu sau không chỉ Zhu Shijie mà còn nhà tiên phong về lý thuyết nhóm của Ý là Paolo Ruffini, đã phát triển phương pháp này vào đầu thế kỷ mười chín.

Các bài toán sau được lấy ra từ tập hai và ba của công trình của Zhu Shijie.

 

Bài Toán 3-1

Tìm thể tích V của những khối sau theo a, b và h.

(1) Một hình chóp cụt chiều cao h = 12 syaku có đáy dưới là hình vuông cạnh b = 6 syaku, và đáy trên là hình vuông có cạnh a = 4 syaku. (Xem hình 2.1)

(2) Một hình nón cụt có chiều cao h = 20 syaku, chu vi đáy dưới là b =72 syaku và chu vi đáy trên là a = 36 syaku. (Xem hình 2.2). Dùng π = 3

 

Bài Toán 3-2

Một chú ngựa sung sức A có thể chạy 240 ri mỗi ngày trong khi một con ngựa già B chỉ chạy 150 ri mỗi ngày. Nếu ngựa A xuất phát sau ngựa B mười hai ngày, hỏi sau bao nhiêu ngày A bắt kịp B?

 

Bài toán này, với các số liệu thay đổi, xuất hiện trong cuốn Toán Học Truyền Thống Nhật Bản 1815 của Sakabe Kohan (1759-1824).

 

Bài Toán 3-3A

Giải các hệ phương trình sau:

(1) xy = 1024 trong đó y / x + x / y = 4.25 và x > y

 

(2) xy = 4096 trong đó x / y – y / x = 3.75

Cả hai bài toán đều dẫn đến việc giải phương trình bậc hai.

 

Bài Toán 3.3B

Giải hệ phương trình sau với x > y > z:

(1) x² + y²  + z² = 14384

(2) x + y + z = 204

(3) x – y = y – z

 

4. Luận Thuyết Hệ Thống về Số Học

Có lẽ là cuốn sách Trung Quốc có ảnh hưởng nhất đối với toán học Nhật Bản, Luận Thuyết của Cheng Da-Wei gồm 17 chương. Trong hai chương đầu ông bàn nền tảng của phép tính và giới thiệu soroban. Chín chương tiếp theo có cùng tựa với Cửu Chương nguyên bản, mặc dù nội dung có khác và chương bốn tách làm hai. Những chương còn lại gồm những bài toán cao cấp hơn. Mặc dù chứa khá nhiều hình vuông thần bí, bộ sách của Cheng Da-Wei là một bộ sách dùng để luyện tập. Ngoài những chỉ dẫn về thuật sử dụng bàn toán, ông còn luận bàn về cách pha các hợp kim và tính diện tích các hình khác nhau. Ông cũng trình bày những giá trị xấp xỉ của số π, mặc dù giá trị không có gì thay đổi so với cuốn trước đây. Chúng tôi chọn ra một ít bài toán từ các chương khác nhau. Bài toán 4-4 đặc biệt quý giá vì phải sử dụng tam giác Pascal. Tam giác nổi tiếng này đã xuất hiện trong phiên bản chú giải của nguyên bản Cửu Chương, được in năm 1261. Nó cũng được biết đến sớm hơn bởi Al-Karaji (953-1029) ở Bá Đa. Ở phương Tây, Tam giác xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1527 trong tác phẩm Cosmographia của Petrus Apianus (1425-1552), mặc dù phải một thế kỷ sau Blaise Pascal (1623-1662) mới khảo sát nó tường tận hơn. Bạn có thể tham khảo này trên mạng. Tính chất cơ bản của nó là các số trên một hàng là các hệ số trong khai triển nhị thức, được bài toán 4-4 dùng đến.

Các nhà toán học Nhật Bản biết về tam giác này qua cuốn Luận Thuyết.

 

Bài Toán 4-1

(Từ chương 3 của Luận Thuyết: “Ruộng Hình Vuông.”)

Chứng tỏ những phát biểu sau là gần đúng:

(1) Chu vi đường tròn có đường kính 1 gần bằng 3.

(2) Đường chéo một hình vuông có cạnh 5 gần bằng 7.

(3) Chiều cao một tam giác đều có cạnh 7 gần bằng 6.

(4) Nếu diện tích một hình tròn nội tiếp trong một hình vuông gần bằng ba

phần tư diện tích hình vuông thì π bằng 3.

(5) Diện tích hình vuông nội tiếp trong hình tròn gần bằng hai phần ba diện tích

hình tròn

(6) Diện tích hình tròn nội tiếp trong hình tam giác đều gần bằng bốn phần bảy diện tích tam giác.

(7) Diện tích lục giác đều nội tiếp trong hình tròn gần bằng sáu phần bảy diện

tích hình tròn.

(8) Diện tích hình tròn nội tiếp trong một lục giác đều gần gần bằng sáu phần

bảy diện tích lục giác.

(9) Diện tích tam giác đều nội tiếp trong hình tròn gần bằng bảy phần mười sáu

diện tích hình tròn.

 

Các bài toán trên liên quan đến diện tích được lấy từ Jinko-ki của Yoshida.

Hình 2.3. Chứng tỏ diện tích hình tròn gần bằng ba phần tư diện tích hình vuông

Hình 2.4. Chứng tỏ diện tích hình vuông gần bằng hai phần ba diện tích hình tròn

Hình 2.5. Chứng tỏ diện tích hình tròn gần bằng bốn phần bảy diện tích tam giác đều.

Hình 2.6. Chứng tỏ diện tích lục giác đều gần bằng sáu phần bảy diện tích hình tròn.

Hình 2.7. Chứng tỏ diện tích hình tròn gần bằng sáu phần bảy diện tích lục giác đều.

Hình 2.8. Chứng tỏ diện tích tam giác đều gần bằng bảy phần mười sáu diện tích hình tròn.

 

Bài Toán 4-2

(Bài toán cuối cùng của chương 4 của Luận Thuyết : “Gạo và Tiền.”)

Chúng tôi sản xuất vải có trọng lượng 43 + ½ kin, gồm hai chất liệu a và b. Trọng lượng của a và b trong vải có tỷ lệ 4 : 1. Tìm trọng lượng của a và b.

 

Bài Toán 4-3

(Từ chương 5 của Luận Thuyết: “Cấp số cộng và nhân”)

(1) Đây là 594 mon. Ta muốn chia cho A và B với tỷ lệ 1 : 2. Hỏi mỗi người được bao nhiêu?

 (2) Đây là 672 ryo bạc. Ta muốn chia cho ba người A, B và C với tỷ lệ 1 : 2 : 4. Hỏi mỗi người được bao nhiêu tiền?

 

Bài Toán 4-4

(Từ chương 6 của Luận Thuyết: “Tam giác Pascal”)

Khai triển các đa thức sau bằng cách dùng tam giác Pascal (hình 2.9).

(1) (a + b)³

(2) (a + b)⁴

(3) (a + b)⁵

 

Đáp số: Đọc từ hình 2.9 cho ta

(1) (a + b) ³ = a³ + 3a²b +  3ab² + b³

(2) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b +   6a²b² + 4ab³ + b⁴

(3) (a + b)⁵  = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Hình 2.9. Tam giác Pascal, được phát hiện nhiều thế kỷ trước ở Trung Hoa và Iraq, là công cụ giúp nhớ các hệ số khai triển nhị thức (a + b)ⁿ. Mỗi phần tử ở mỗi hàng (trừ các phần tử ở hai đầu mút) trong tam giác có được bằng cách cộng hai phần tử đứng hai bên ở hàng liền trên. Tất cả phần tử ở hai đầu mút của mỗi hàng đều bằng 1. Hệ số khai triển của (a + b)ⁿ  đều nằm ở hàng thứ n. Do đó các hệ số của (a + b)³ có thể đọc được ở hàng 3. Và do đó (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

Nếu phần tử đầu tiên của một hàng gọi là phần tử thứ 0, thế thì phần tử thứ r của hàng n bạn có thể nhận thấy là số tổ hợp n chặp r, tức số

n!/( r!(n – r)!

 

Bài Toán 4-5

(Từ chương 7 của Luận Thuyết: “Tính diện tích cánh đồng.”

Như hình 2.10 cho thấy, ta chia một tam giác đều ABC thành ba tứ giác có cùng diện tích. Nếu tam giác có cạnh bằng 14 và G là trọng tâm của tam giác, tìm diện tích tam giác ABC và độ dài các cạnh của tứ giác nhỏ.

Hình 2.10

Bài Toán 4-6

(Từ chương 8 của Luận Thuyết: “Kỹ sư dân sự”)

(1) Một con ngựa bị đánh cắp. Người chủ đi tìm và săn đuổi tên trộm sau khi y đã đi 37 ri. Sau khi người chủ đi được 145 ri, ông biết rằng tên trộm vẫn ở trước ông 23 ri. Hỏi người chủ phải đi bao nhiêu ri nữa mới bắt kịp tên trộm?

 

(2) Một số banh y hệt nhau được xếp như trong hình 2.11, hàng cuối chứa 7 banh, hàng đầu chứa 3 banh. Hỏi có bao nhiêu banh tât cả?

Hình 2.11

(3) Như trong hình 2.12, nhiều banh y hệt nhau được xếp trong một hình chóp, có đáy là tam giác đều có cạnh là 7 banh. Hỏi có bao nhiêu banh tât cà?

Đáp số: 84

Hình 2.12

(4) Các banh y hệt nhau xếp bên trong một hình chóp, lần này như trong hình 2.13, đáy là hình vuông có cạnh bằng 12 banh. Hỏi có bao nhiêu banh tất cả?

Đáp số: 650

Hình 2.13

 

Bài Toán 4-7

(Từ chương 9 của Luận Thuyết: Vận Tải”)

(1) Viên chức A và B làm việc trong công sở. A đi làm mỗi 12 ngày một lần, còn B mỗi mười lăm ngày một lần. Hôm nay họ gặp nhau ở sở, hỏi phải bao nhiêu ngày nữa họ mới gặp lại nhau?

Bản kẻm 2.5. Có bao nhiêu thùng trong đống này? Từ Jinki-ki, khoảng 1818.

(2) Một thằng bé để dành tiền theo cách thức sau: Vào ngày thứ nhất nó để dành 1 mon, ngày thứ hai nó để dành 2 mon, và ngày thứ ba nó để dành 2² = 4 mon. Hỏi sau 30 ngày nó để dành được bao nhiêu mon?

 

Ở lớp 11, ta biết tổng số mon thằng bé để dành được là tổng số hạng của một cấp số nhân

S = a + ar + ar² +…+ar”

 Ta đã biết công thức đó là

Trong trường hợp này a = 1, r = 2, và n = 29, do đó:

 

S = l2³⁰  -1 = 1.073.741.823 mon.

 

Bài toán 2 được lấy từ Jingko-ki in năm 1627.

 

Bài Toán 4-8

(Từ chương 12 của Luận Thuyết: “Về Định Lý Pitago”)

(1) Tìm bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông có các cạnh ngắn là 36 và 27. (Xem hình 2.14.)

(2) Nếu hai cạnh của tam giác vuông là 12 và 6, tìm cạnh của hình vuông nội tiếp trong tam giác. (Xem hình 2.15.)

(3) Một cây sậy mọc trong nước và ló ra khỏi mặt ao một độ dài 3 syaku. Nếu ta kéo đầu cây sậy đi 9 syaku theo hướng bờ ao thì đầu cây sậy vừa chạm mặt nước, hãy tìm độ sâu của ao.

Bản kẽm 2.6 . Bài toán 4-8 (3) xuất hiện trong Luận Thuyết

 

Học sinh cấp 2, trang bị định lý Pitago, có thể giải được dễ dàng bài toán này, xuất hiện nhiều lần trong các tài liệu giáo khoa toán, chẳng hạn bài 1.9 trong Cửu Chương Thuật Toán.