Nghiên Cứu Lịch Sử

Fukugawa Hidetoshi

Tony Rothman

Nguyễn Hữu Anh dịch

Một : Nhật Bản và Hình Học Điện Thờ

Tiếng chuông chùa chìm xa,  Hương hoa còn vương vấn,  Lồng lộng bóng chiều tà!

_ Basho

Không du khách nào đến thăm một đất nước xa lạ mà không bị mê hoặc và khó chịu khi chạm trán với một truyền thống và phong tục mà mình chưa hề quen biết. Một vài du khách muốn vượt qua nổi sợ ấy, trong khi đa số muốn mau lẹ rút lui về các bãi biển quen thuộc để thư giãn, và như thế tạo ra sự phân biệt: Ai muốn ôm lấy cú sốc văn hóa là loại du khách thực sự; còn những người kia chỉ là khách nhàn du.

 

Cú sốc văn hóa sâu xa nhất xảy đến khi ta đối mặt với một lề lối tư duy khác hẳn. Phần đông chúng ta khó lòng mà tưởng tượng ra cảnh khi bước vào một nhà thờ Tây phương mà lại bắt gặp những cửa sổ kính màu in đầy những phương trình hay hình vẽ của các bài toán hình. Cho dù có thể hình dung ra điều ấy đi nữa thì chúng ta đều cảm thấy rất lạ lȁm, lố bịch và phạm thánh. Vậy mà trong hơn hai thế kỷ, các nhà toán học Nhật- nhà nghề lȁn tài tử, có cả phụ nữ và trẻ em- đã sáng tạo ra các ô kính màu toán học thuần túy đó, đó là những mộc bản trang trí bằng các bài toán hình tuyệt đẹp vừa là những sản phẩm thủ công mỹ nghệ, vừa là vật hiến cúng tôn giáo, vừa là bản ghi nhớ điều mà chúng ta có thể gọi là “toán học quần chúng”. Các nhà sáng tạo các sangaku (mộc bản toán học) này- treo chúng hàng ngàn tấm trong các chùa Phật hay điện thờ Thần Đạo khắp đất nước Phù tang, và vì lý do đó một bộ sưu tập các bài toán sangaku đã được biết dưới tên là “hình học điện thờ”, hay toán thiêng.

 Hình 1.1. Hình nào bạn đoán là lấy ra từ giáo trình hình học Mỹ?

 

Trong quyển sách này, bạn sẽ được mời đến không chỉ để gặp gỡ hinh học điện thờ nhưng còn để trân trọng nó. Có một cú sốc nhỏ về văn hóa cần vượt qua. Chỉ cần        liếc qua một sangaku là đủ cho bạn nhận thức được là chúng được tạo ra với tính thẩm mỹ tinh tế khác biệt với những bài toán lấy cảm hứng từ toán học của người Hy Lạp được các giáo trình hình học Tây phương vay mượn. Trên một bình diện sâu xa hơn, ta biết được rằng những phương pháp các nhà hình học Nhật bản sử dụng để giải các bài toán này khác biệt, đôi khi rất nhiều, với các phương pháp mà người Tây phương sử dụng. Hỏi bất kỳ nhà toán học chuyên nghiệp nào liệu những quy tắc toán học có giống nhau trong những môi trường khác nhau hay không,   thế nào các ông hay bà ấy đều chắc chắn trả lời là dĩ nhiên. Các nhà toán học thực sự là những người theo môn phái Pitago – họ tin chắc là toán học tồn tại độc lập với trí tuệ của con người. Nhưng đồng thời, trong những lúc rảnh rổi, các nhà toán học không thể không suy tư về sự khác biệt mà một nền toán học nào đó có thể so sánh với loại toán học được giảng dạy tại các trường học ở trời Tây.

 

Toán học truyền thống Nhật Bản, với hình học điện thờ, khởi xướng từ thế kỷ mười bảy trong một hoàn cảnh hầu như là độc nhất. Vào năm 1603, ba năm sau khi đánh bại các daimyo – lãnh chúa – đang xưng hùng xưng bá tại mặt trận Sekigahara, Tokugawa Ieyasu trở thành Tướng Quân của đất nước Phù Tang, thiết lập chế độ Mạc phủ.   Dòng họ Tokugawa cai trị Nhật Bản trong suốt ba trăm năm, cho đến 1868, một thế hệ sau khi Đô Đốc Matthew C. Perry bắt buộc Nhật phải mở cửa với phương Tây, Mạc phủ sụp đổ, nhường lại quyền lực tuyệt đối, thay vì mang tính hình thức lễ nghi, cho Minh Trị Thiên Hoàng.

 

Một trong những hành động đầu tiên của Tướng Quân Ieyasu sau trận chiến Sekigahara là thiết lập thủ phủ tại một thành trì nhỏ ở trung tâm Nhật Bản, một thị trấn sau này được biết dưới tên Edo (đọc là “Yedo”) – ngày nay là Tokyo. Vì lý do đó, thời kỳ cai trị của Tokugawa được biết dưới tên là thời kỳ Edo. Trong những năm đầu của triều đại Tokugawa Ieyasu (người mà, mặc dù sống đến 1616, chỉ chính thức duy trì được chức Tướng quốc cho đến năm 1605) củng cố quyền lực bằng cách tịch thu tất cả đất đai của những lãnh chúa khác, nhưng vȁn tiếp tục theo đuổi những chính sách đối ngoại như người tiền nhiệm, lãnh chúa Toyotomi Hideyoshi vĩ đại (1537-1598). Khi bước sang thế kỷ mười bảy, Nhật bắt đầu mở rộng giao thương với các nước ngoài, cả Đông lȁn Tây. Nagasaki trên đảo Kyushu đã trở thành cứ điểm cho “bọn rợ phương nam” nhập khẩu hàng hóa của họ cũng như in lại các bản dịch các tác phẩm phương Tây, phần nhiều thuộc lãnh vực tôn giáo.

 

Vào thời gian đó những giáo sĩ ngoại quốc đã đến xứ Nhật được năm mươi năm. Vào mùa thu 1543, ba người Bồ Đào Nha bị đắm tàu ở ngoài khơi Kyushu. Tai nạn này hóa ra lại quyết định cho chính sách giao thương với nước ngoài của Nhật Bản vì những người này có mang theo súng hỏa may, khiến các lãnh chúa sẵn sàng đón nhận. Vài năm sau sự kiện đắm tàu, một sự kiện khác còn quan trọng hơn là các thương nhân và giáo sĩ Bồ Đào Nha lục tục kéo đến, tìm cơ hội buôn bán hay truyền đạo. Các giáo sĩ Jesuit đặc biệt thành công khi cải đạo được hơn hai trăm ngàn người Nhật sau bốn mươi năm sau và trở thành những người cai trị thực sự của vùng Nagasaki.

 

Sự kiện này đã làm những người theo đạo Phật cảnh giác và khiến Hideyoshi mất lòng tin; chính ông vào năm 1587 đã trực tiếp cầm quyền ở Nagasaki và ban hành hai đạo luật nhằm kiểm soát sự truyền bá đạo KiTô. Nhưng rồi người Tây Ban Nha cũng vừa đến, các thương nhân thì cạnh tranh buôn bán với các thương nhân người Bồ còn các giáo sĩ dòng Francis thì cạnh tranh truyền đạo với giáo sĩ dòng Jesuit. Vào năm 1596, sau khi một người Tây Ban Nha huênh hoang cho rằng các giáo sĩ thật ra là đạo quân tiên phong cho một cuộc xâm lược Nhật Bản, Hideyoshi ra lệnh hành quyết hai mươi sáu giáo sĩ và dân cải đạo. Tuy vậy Tướng quân có mưu tính riêng của mình, đặc biệt trong ý đồ chinh phạt Trung Quốc, thành ra ông ta không muốn tiếp tục theo đuổi giải quyết sự căng thẳng đang lên cao giữa người Nhật và bọn Tây phương.

 

Tình trạng căng thẳng được giải quyết theo một phương cách tàn bạo và quyết liệt vào cuối đời của Tokugawa Ieyasu và suốt hai thập kỷ tiếp sau đó. Năm 1614 Ieyasu ban hành lại một đạo luật đã có từ trước theo đó ra lệnh cho tất cả giáo sĩ Thiên Chúa phải rời bỏ đất nước, các nơi thờ phượng bị phá sập, và mọi nghi thức hành lễ Kitô bị cấm tuyệt. Nhưng những vấn đề nội bộ khác lại xen vào và Ieyasu   mất vào năm 1616 mà không làm được gì nhiều. Dù vậy, sau cái chết của ông, sự ngược đãi người cải đạo càng ác liệt và đến năm 1637, theo một số dữ liệu, khoảng ba trăm ngàn người cải đạo phải bắt buộc bỏ đạo Thiên Chúa hoặc bị hành hình. Suốt những năm 1630, cháu nội của Ieyasu, Tokugawa Iemitsu, ban hành một loạt đạo luật ban thường cho những ai chỉ điểm được những người cải đạo trốn tránh, ngăn cấm không cho tàu trong xứ ra nước ngoài cũng như người trong nước xuất dương, nếu không, phải chịu tội chết.

 

Vào năm 1641 các thương nhân Bồ cuối cùng bị trục xuất, chỉ còn lại người Hà Lan. Người Hà Lan đến Nhật tương đối muộn, mãi đến năm 1609, và cho thấy họ quan tâm đến thương mại hơn là truyền đạo. Vì l{ do đó họ được cho phép ở lại sau khi người Tây-Bồ đã bị trục xuất. Tuy vậy, do luôn nghi ngờ người Tây phương, sự hiện diện của người Hà Lan bị kiểm soát gắt gao. Các đại diện của Công Ty Đông Ấn Hà Lan chỉ được phép đi lại trên một đảo nhân tạo bé nhỏ gọi là Deshima ở cảng Nagasaki (xem bản kẻm 1.2). Hòn đảo hình cánh quạt, vốn được xây dựng cho người Bồ, chỉ dài 200 mét và rộng 70 mét. Một bức tường bao quanh Deshima, trên đó dựng nhiều bảng yết thị ngăn cấm người Nhật lai vãng, và đảo hoàn toàn cách biệt với đất liền trừ một cây cầu duy nhất có lính gác và một ống dȁn nước bằng thân tre. Trên ốc đảo, chỉ có khoảng hai mươi thành viên của Công Ty Đông Ấn sống chen chúc trong các nhà kho chung với lũ heo, trừu, gà, mòn mõi đợi các con tàu Hà Lan sẽ đến vào mùa hè. Khi tàu cặp bến, các thuyền trưởng cho khóa tất cả cuốn sách tôn giáo và kinh thánh vào thùng kín, trong khi những dân phu người Nhật lo bốc giỡ hàng hóa.

 

Đó là cung cách giao thương của người Nhật với Tây phương trong suốt hai trăm năm sau đó, chính sách sau này được biết dưới tên Sakoku, “bế quan tỏa cảng”. Thật ra chính sách sakoku không phát huy hiệu quả một trăm phần trăm vì việc giao thương với Triều Tiên và Trung Quốc vẫn tiếp tục. Có hai người Nhật trốn thoát đến Hà Lan khoảng năm 1650 để theo học ngành toán. Ta chỉ biết các học giả này dưới tên mới đổi là Petrius Hartsingius và Franciscus Carron, người trước ít nhất đã đạt được một ít tiếng tăm. Việc họ có trở lại xứ mẹ hay không ta không thể biết. Một bác sỹ, Nakashima Chozaburo, đã xuất ngoại với một nhà buôn Hà Lan và sau đó hồi hương mà không sợ mất đầu. Theo truyền thuyết, lãnh chúa tại đó đã tha tội chết cho Nakashima vì ông này đã chữa lành một con bồ câu của lãnh chúa.

 

Những mȁu thông tin như thế khiến người ta tin rằng xét theo bất kỳ khía cạnh nào sự cô lập của xứ Nhật khỏi phương Tây hầu như là tuyệt đối. Đứng về phương diện toán học, hoàn toàn chắc chắn là không có chuyện ai đó ở Nhật biết được sự khám phá ra phép tính vi tích phân của Newton và Leibnitz sau đó trong thế kỷ mười bảy, và chắc chắn không có chứng cứ từ những bài toán sangaku và các giáo trình toán truyền thống Nhật là những người tạo ra chúng hiểu được định lý nền tảng của giải tích.

 

Từ những sự kiện trên ta không nên kết luận là chính sách bế quan sakoku hoàn toàn cho những hậu quả tiêu cực. Trái lại, chính sách thành công đến nổi 250 năm của thời kỳ Edo đã tránh được những xung đột với ngoại bang và được mệnh danh là thời kỳ “Đại Thái Bình”. Hơn nữa, dưới triều đại bình ổn của Tướng Quân Tokugawa, nền văn hóa xứ hoa anh đào đã trải qua một thời kỳ phát triển rực rỡ đến nổi những năm cuối thế kỷ mười bảy được gọi tên   là Genroku, thời Phục Sinh. Thời đó một quý ông phải trau dồi những kỹ năng trong “y học, thi ca, trà đạo, âm nhạc, trống tay, kịch noh, phép lịch sự, khiếu thȁm mỹ, số học và thuật tính. còn viết văn và làm thơ thì không kể. Ngoài ra còn có những tài nghệ khác ”

 

Ở đây chúng ta không có chỗ để đào sâu vào nền văn hóa Genroku, nhưng ta phải công nhận rằng trong thời kỳ này nhiều loại hình nghệ thuật đem lại tiếng tăm cho người Nhật đã đạt đến những thành tựu cao nhất: Kich Noh đua nở; nhà viết kịch vĩ đại Chikamatsu Monzaemon (1653-1725) sáng tác những vở kịch cho sân khấu Kabuchi lẫn múa rối; trà đạo, nghệ thuật cắm hoa, kiến trúc sân vườn trên đà phát triển, cũng như hội họa với nhiều trường phái, bao gồm tranh in mộc bản ukiyo-e – “thế giới trôi nổi” – minh họa cuộc sống bọn kỹ nữ, tình yêu nam nữ và một phần nào định hình cuộc sống thời kỳ đó. Các tranh ukiyo-e được bằng các mộc bản, không phải vì người Nhật không có kỹ thuật in bằng trụ gỗ lăn vốn đã được nhập vào từ Triều Tiên dưới thời Hideyoshi, nhưng vì nghệ sĩ thích bản gỗ vì dễ chạm khắc tinh tế những đường nét cũng như thư pháp.

Không thể không kể đến thi ca, nhất là loại thơ haiku, đã lên đến trình độ biểu cảm sâu sắc nhất trong các tác phẩm của Matsuo Basho (1644-1694), đến nay đã nổi tiếng khắp thế giới.

Trong quá trình ôn lại những thành tựu văn hóa Nhật thời kỳ này không thấy ai nhắc nhở đến khoa học và toán học. Nhưng thật ra sự cô lập đã sản sinh ra những bùng nổ trong nghệ thuật chắc chắn cũng tác động không kém đối với hai ngành này. Cái tác động thȁm mỹ đối với hình học sẽ dần dần bộc lộ đối với đọc giả khi đi sâu vào diện mạo toán học của bộ sách này, nhưng không phải là tình cờ khi nhiều bài toán sangaku trông giống các kiểu xếp giấy origami, và cũng không phải là tình cờ khi thói quen treo các bản gỗ sangakui bắt đầu hình thành chính xác vào thời Genroku, vì như sau này ta sẽ thấy, đó là ở nửa sau thế kỷ mười bảy mà toán học truyền thống Nhật Bản bắt đầu nảy nở.

Không kể những phát triển chính thức về toán học vào thời kỳ đó, các đọc giả phương Tây đều nhất trí muốn biết phong tục treo “toán gỗ” trong chùa hay điện thờ hình thành như thế nào. Xét theo người Nhật, điều này khá tự nhiên. Thần đạo, Shintoism, quốc giáo của Nhật, gồm hơn “tám trăm vạn vị thần,” các kami, mà uy lực của họ thấm nhuần vạn vật từ mặt trời, mặt trăng đến sông ngòi, núi non, và cây cối. Trong hàng thế kỷ trước khi sangaku ra đời, các tín đồ thường mang vật tế cúng đến các đền thờ. Theo tục truyền, các kami thích được dâng cúng ngựa, nhưng ngựa thì mắc mỏ, và một tín đồ nghèo khó một mình không thể có đủ tiền cúng ngựa sống, thay vào đó họ cúng một hình ngựa vẽ trên một bản gỗ. Ta còn thấy nhiều mộc bản từ thế kỷ mười năm hoặc xa hơn vẽ toàn hình ngựa.

Và như thế không có gì lạ lȁm đối với người Nhật khi họ treo những mộc bản toán học trên điện thờ. Ta không thể nói chính xác năm nào hoặc thời kỳ nào truyền thống này bắt đầu, nhưng tấm sangaku xưa nhất còn lưu lại được tìm thấy tại tỉnh Toghichi đề năm 1683, trong khi nhà toán học thể kỷ mười chín Yamaguchi Kanzan, mà nhật ký du hành của ông được trích đăng ở chương 7, đề cập đến một mộc bản còn xưa hơn đề năm 1668; tấm này nay đã thất lạc. Qua hai thế kỷ sau mộc bản có mặt khắp nước Nhật, khoảng hai phần ba trong điện thờ Thần Đạo, một phần ba còn lại treo trong chùa Phật. Ta không biết có bao nhiêu là bản gốc. Từ các sangaku được nhắc đến trong các giáo trình toán hiện đại, ta chắc chắn có ít nhất 1738 bản đã bị thất lạc; hơn nữa, chỉ hai phần trăm các bản được liệt kê trong nhật ký của Yamaguchi là còn lưu lại. Vì thế hợp lý để dự đoán có đến hàng ngàn bản ngoài 900 bản còn giữ lại cho đến hôm nay. Tập quán treo sangaku dần dần mai một sau khi Tướng Quân Tokugawa thất thế, nhưng một số người trung thành vȁn lác đác treo chúng đến tận năm 1980, và đến bây giờ vȁn còn thấy xuất hiện. Trong năm 2005, năm bản đã được phát hiện chỉ ở phạm vi tỉnh Toyama. Bản “mới nhất” được ngài Hori Yoji phát hiện ở điện thờ Ubana đề năm 1870.

Phần đông các sangaku chỉ chứa đáp số cuối cùng của bài toán, hiếm khi đầy đủ bài giải . (Trong Toán Thiêng chúng tôi thường đưa ra đáp số lȁn bài giải, phần lớn lấy từ các giáo trình Nhật Bản truyền thống.) Một phần vì không đủ chỗ trên mộc bản để ghi chép toàn bộ bài giải, một phần có lẽ người ra đề muốn thách thức: Giải bài này xem, dám không? Khi đọc kỹ những nội dung trên mộc bản bạn sẽ tự khám phá ra những người trình bày sangaku rất coi trọng khía cạnh tôn giáo và tâm linh của nghi lễ, không thấy gì kỳ cục trong việc hiến cúng một bản gỗ đến Thần Linh đổi lấy sự phát triển của toán học. Nhưng ai là người sáng tạo ra toán thiêng? Sangaku được viết bằng mȁu tự gọi là Kanbun, sử dụng các ký tự và văn phạm Trung Hoa có bổ sung ký hiệu chỉ ý nghĩa Nhật Bản. Tiếng Kanbun có vai trò giống như tiếng Latin ở phương Tây và cách sử dụng nó trên sangaku cho thấy người tạo ra nó có trình độ học vấn cao. Thật ra đa số những người trình bày các sangaku xuất thân từ tầng lớp võ sĩ đạo. Trong thời kỳ Edo hầu hết những võ sĩ đạo không tuần tiểu ngoài đồng, với gươm trong tay, mà làm việc như một công bộc nhà nước; nhiều người trở thành các nhà toán học, thậm chí một số còn nổi tiếng. Dù sao đi nữa, những gì khắc ghi trên mộc bản cho thấy rõ là mọi tầng lớp sinh viên, học sinh, và đôi khi lẫn phụ nữ đều tham gia sáng tạo sangaku. Do đó câu trả lời đúng nhất cho câu hỏi “Ai là người sáng tạo sangaku?” hình như là “tất cả mọi người.”

Trong khi suy nghĩ về bài học này, cho phép chúng tôi vẽ lại bức tranh đầy đủ hơn về hoàn cảnh trong đó sangaku được sáng tác bằng cách ôn lại thời điểm xa như có thể khi toán học Nhật có những bước phát triển đầu tiên.

 

Thời kỳ Số Học

Lịch sử xa xưa của Nhật Bản không thể tách rời với lịch sử Trung Quốc, vốn vay mượn rất nhiều văn hóa của đất nước mênh mông này, trong đó có Phật giáo, cũng như hệ thống chính trị của nó. Và đối với toán học cũng không có gì khác. Tuy nhiên sự hiểu biết của chúng ta về toán học Nhật Bản trước thế kỷ thứ tám hầu như không tồn tại. Có lẽ một thông tin nhỏ bé duy nhất được xác định từ thời xa xưa nhất là người Nhật đã thiết lập được một hệ thống ký hiệu số mũ dùng để viết các lũy thừa bậc cao của số mười, tương tự như những gì Archimedes đã sử dụng trong bài toán Đếm Cát. Theo truyền thống, hệ thống này đã có mặt trước   khi Jimmu huyền thoại đã dựng nên nước Nhật vào thế kỷ thứ bảy trước Công Nguyên, nhưng niên lịch và bản chất của hệ thống vẫn còn đang được tranh cãi.

 

Nhiều niên lịch thông tin cụ thể hơn chỉ có kể từ khi bắt đầu thời kỳ Nara (710- 794), khi chính quyền được thiết lập tại thành phố Heijo, ngày nay là Nara, gần Osaka. Tới lúc đó Nhật đã trong quá trình thống nhất hơn bốn trăm năm rồi. Đạo Phật truyền từ Trung Hoa đến giữa thế kỷ thứ sáu và đến thế kỷ thứ tám đã cực kỳ vững mạnh, minh chứng là “Chùa Đại Đông” Todaiji được xây dựng vào năm 752. Bước vào thế kỷ thứ tám, các nhà cai trị Nara lập ra một trường đại học trong đó có dạy toán học theo chín giáo trình của người Trung Quốc, sáu trong số đó rút ra từ Thập Toán Pháp Kinh Điển. Quan trọng nhất trong bộ này phải kể đến Cữu Chương Toán Pháp của Tô Xung Chi. “Nghệ thuật toán học” trong Cữu Chương Toán Pháp cùng với bộ sách khác phần lớn là các phép tính số học và đại số sơ cấp; ở Nhật chúng được giảng dạy chủ yếu được sử dụng trong đạc điền và tính thuế. Mặc dù tác động đầy đủ của chúng không hiển nhiên trong gần một ngàn năm, giáo trình Trung Quốc cung cấp một nền tảng cho nền toán học Nhật Bản và sự quan trọng của nó không thể được coi thường. Chúng cũng mở ra cánh cửa minh họa xã hội Trung Hoa của thời đó, và đọc giả có thể nếm trải hương vị của chúng qua một tuyển tập các bài toán cổ điển có ảnh hưởng nhất ở Chương 2.

Bản kẻm 1.5. Chùa Đại Đông ở Todaiji được xây dựng năm 752 ở Nara gần Osaka.

Ngày nay nó là một trong những điểm du lịch nổi tiếng nhất ở Nhật Bản.

 

Một tác động do giáo trình Trung Quốc tạo ra được ghi nhận xưa nhất là năm 718. Trong năm đó chính quyền thông qua đạo luật yoryo ritsuryo, theo đó nhà nước sẽ lập ra văn phòng San Hakase, nghĩa là “Thu Thập Số Liệu”. Phòng ban này gồm 70 công chức bậc trung có nhiệm vụ đo đạc đất đai và tính thuế. Theo đạo luật, các thành viên của phòng “Thu Thập Số Liệu” phải trau dồi kỹ năng tính toán từ giáo trình toán của Trung Hoa để có đủ khả năng tính thuế, và do đó, mặc dù người Nhật trở nên thông thạo về các phép tính số học, toán học bậc cao không phát triển vào thời kỳ đó.

 

Việc tính toán trong thời kỳ đó được tiến hành bởi một công cụ ra đời trước bàn toán tạo bởi những đoạn tre ngắn cấu kết lại, gọi là saunzi trong tiếng Hoa và sangi trong tiếng Nhật. Sự sắp xếp khác nhau các đoạn tre biểu thị những số đếm, tương tự những nét đơn giản tạo nên chữ số La Mã ở phương Tây. Một nhân viên của phòng Thu Thập Số Liệu, muốn tính tiền thuế, sẽ đặt sangi trên một tờ giấy có kẻ ô như bàn cờ, và với một chuổi các thao tác y có thể thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia và rút căn bậc hai, rất giống cách mà một học sinh phương Tây thực hiện những phép chia dài trước khi máy tính bỏ túi xuất hiện.

 

Vào thời đó, hai tôn giáo của Nhật Bản, Thần Đạo của bản quốc và Phật giáo vừa được du nhập, cùng tồn tại trong hòa bình. Các chùa Phật- như các tu viện ở Tây phương trong các thế kỷ đó-trở thành các trung tâm học tập. Trong Chương 7 bạn sẽ có cơ hội đi thăm điện thờ Thần Đạo chủ yếu là Ise Jingu và Izumo Taisya với nhà toán học Yamaguchi Kanzan khi ông du hành khắp nước để thu thập các bài toán ở sangaku. Mặc dù chúng không được đề cập trong phần nhật k{ chúng tôi trích đăng, ông cũng thăm hai phức hợp Phật giáo vĩ đại ở Horyuji và Todaiji; tại địa điểm thứ hai này tượng Phật lớn nhất Nhật Bản cùng với chùa được xây dựng vào năm 752. Kế bên chùa là một nhà kho bằng gỗ nơi đó cất giữ một số tư liệu lịch sử thuộc về việc thu thuế trong thời kỳ Nara.

 

Những tư liệu này, bao gồm những bản đồ được các thành viên của phòng Thu Thập Số Liệu vẽ và ký tên, cho thấy trình độ tính sổ sách phần nào tinh tế, chẳng hạn một kết toán chi phí tương đối phức tạp của ban thanh tra khu Suruga vào năm 738. Phòng Thu Thập Số Liệu gồm hai giám đốc, chín phụ tá giám đốc, sáu võ quan, mười thư k{ và bốn chục lao động. Nhóm thứ nhất, gồm một giam đốc, một võ quan, một thư ký và sáu lao động, xuống công tác một làng trong mười hai ngày. Một nhóm thứ hai, gồm một giám đốc, ba phụ tá giám đốc, ba thư k{ và hai mươi lao động, xuống công tác bảy làng và mỗi làng nán lại bốn ngày. Có bảy nhóm như thế, tất cả đều có thành phần khác nhau, và tổng số nhân sự tham gia lên đến 1,330 người. Các giám đốc, phụ tá giám đốc và võ quan có cùng khẩu phần hàng ngày gồm gạo, muối và sakê, còn các thư k{ và lao động thì nhận được ít hơn. Phép tính để xác định toàn bộ số gạo, muối và sakê chi tiêu cho chuyến công tác không hề đơn giản nhưng phòng Thu Thập Số Liệu đã làm chính xác.

 

Để dẹp yên những đấu đá tranh giành quyển lực nổi lên trong thời kỳ Nara, vào năm 794 trung tâm hành chính dời về Heian-kyo, “thành phố của yên bình”- ngày nay là Kyoto. Heian-kyo vȁn được giữ làm thủ đô mãi cho đến năm 1192 và vì lý do mà thời kỳ này có tên là Heian. Trong thời kỳ tương đối ổn định này, Nhật Bản bắt đầu phát triển một nền văn hóa và một hệ thống chữ viết độc lập với Trung Quốc. Phát triển có ý nghĩa nhất trong thời kỳ này thuộc lãnh vực văn chương: Câu Chuyện về Genji do bà Murasaki Shikibu được coi là tiểu thuyết đầu tiên của thế giới, và nhật ký của Sei Shonagon ghi chép về cuộc sống hậu cung Sách Gối Đầu cũng đạt được tiếng tăm. Chỉ có một số ít tên tuổi liên quan đến toán học còn truyền lại cho chúng ta, từ thời kỳ Nara qua thế kỷ mười bảy, và hầu như không có bước tiến nào được ghi lại trong suốt chín trăm năm. Các giáo trình Trung Quốc được viết ra ở thời kỳ đó chắc cũng được nhập vào nước Nhật, nhưng như ở phương Tây, các giáo mục ít quan tâm đến khoa học và toán học, và nói riêng về toán học đó quả là thời kỳ rất tối tăm.

 

Từ thời kỳ Kamakura (1192-1333), khi Tướng quân Minamoto thiết lập chính quyền ở Kamakura, rất xa Kyoto, còn sót lại một ít ghi chép về sangi, điều đó chỉ ra rằng chúng còn được sử dụng để tính toán. Chẳng hạn, trong bộ sách Kamo no Chomei Những câu chuyện về Phật Giáo, được viết khoảng năm 1241 gồm một trăm truyện kể, có hai truyện đề cập đến sangi. Một truyện nhắc đến việc đếm số thời tụng kinh; và trong truyện kia tác giả mô tả các ngôi nhà bị nước lũ tàn phá “giống như sangi” vì sangi nằm rải rác trên giấy. Trong tác phẩm nặc danh Uji Syui (Chuyện Sưu Tầm bởi Uji) từ đầu thế kỷ mười ba, một trong số 197 truyện khôi hài kể về một người muốn học cách sử dụng sangi.

Những mãnh vụn ít ỏi ấy dȁn chúng ta đến kết luận rằng sangi tiếp tục được sử dụng để tính toán, nhưng vȁn chưa thấy có phát triển nào trong toán học cấp cao. Tình trạng này tiếp tục qua thời kỳ Muromachi, từ 1338 đến 1573, sở dĩ có tên này vì lấy theo một địa phận Muromachi của Kyoto, tại đó dòng họ Ashikawa thiết lập lại vương quyền. Trong thời kỳ này, truyện kể rằng khó mà tìm được trên xứ hoa anh đào người nào làm được bài toán chia. Dù sao đi nữa thì đây chẳng những là thời kỳ mà việc giao thương với các nước Đông Á được thúc đẩy và những thương nhân giàu có xuất hiện mà còn là thời kỳ văn hóa bừng nở. Ở thời kỳ này, khi đó là Thời Phục Hưng ở Ý, Kanami Kiyotsugu (1333-1384) sáng tạo ra kịch Noh, trong khi con trai ông Zeami Motokiyo (1363-1443) đã đưa loại hình nghệ thuật này lên đến trình độ phát triển cao nhất. Vài trăm năm sau đó, Sen no Rikyu đã hoàn thiện trà đạo, cho đến ngày nay có hàng triệu người Nhật thực hành nghi lễ đó như một con đường nhằm đạt đến những cảnh giới thâm sâu của thiền định.

 

Cũng như ở phương Tây, những thập niên cuối cùng của thế kỷ mười sáu ở Nhật không yên ổn chút nào. Mặc phủ Ashikaga kết thúc trong năm 1573 trong khi lãnh chúa Oda Nobunaga (1534-1582) đánh đuổi tướng quân cuối cùng của dòng Ashkaga ra khỏi Kyoto. Các thập niên sau chứng kiến người kế nghiệp Nobunaga, Toyotomi Hideyoshi, với sự trợ giúp của Tokugawa Ieyasu, chinh phục từ thái ấp này đến thái ấp khác. Cho đến 1590 nước Nhật cuối cùng được thống nhất. Như ta đều biết, cả Nobunaga lȁn Hideyoshi đều là những nhà bảo trợ hào phóng đối với nghệ thuật. đã đặt nền móng cho văn hóa đua nở không lâu sau đó. Tuy vậy, vào cuối đời Hideyoshi có những hành vi khó lường và hành xử tàn ác, năm 1591 cưỡng bách bạn ông, Sen no Rikyu, bậc thầy trà đạo, phải thực hành nghi lễ tự tử. Không thỏa mãn với sự thống nhất đất nước, năm sau ông phát động cuộc xâm lược Triều Tiên, nhưng cuối cùng thảm bại. Tuy nhiên, sự kiện này đã có kết quả sâu xa với toán học Nhật Bản.

 

          Một người lính của Hideoyoshi đóng ở cảng Hakata mà Tướng quân xây dựng làm đầu cầu cho cuộc xâm lăng, sỡ hữu được một bàn toán, ở Nhật gọi là soroban, hiển nhiên xuất xứ từ Trung quốc. Soroban của người lính đúng ra là bàn toán lâu đời nhất còn lưu lại ở Nhật Bản.

 

Không biết bàn toán của người lính có thực sự là bàn toán đầu tiên đến được bờ biển nước Nhật hay không, nhưng nền thương mại của Nhật hưng thịnh lên qua việc buôn bán với các nước Á châu khiến việc nhập khẩu các bàn toán Trung quốc là không thể tránh khỏi. Ta sẽ bàn đến việc phát triển của bàn toán Trung quốc (suan phan) chi tiết hơn trong chương sau, nội sự xuất hiện của nó dưới tên Nhật soroban khoảng năm 1592 đã cách mạng hóa nền toán học Nhật Bản, toán học truyền thống Nhật Bản có thể nói đã bắt đầu với việc làm quen với bàn toán, cộng thêm thời kỳ thái bình dưới thời Tướng quân Tokugawa.

 

Sự Đi Lên của Truyền Thống Toán Học Nhật Bản

Sự xuất hiện của soroban cũng đón chào việc ghi nhận đầu tiên một nhà toán học Nhật có thể nhận diện được, Mori Shigeyoshi, nổi tiếng khoảng năm 1600. Ta không biết

 Đây là bàn toán soroban được biết là cổ nhất ở Nhật Bản. Nó có niên lịch khoảng 1592 và thuộc quyền sở hữu của một trong những người lính của Hideyoshi ở cảng Hakata.

 

nhiều hơn về ông trừ việc ông sống ở Osaka cho đến khi thành phố bị Tokugawa Ieyasu chiếm được vào năm 1615 và sau đó về sống ở Kyoto. Có nhiều giai thoại về ông, hầu hết là không có thực, cho rằng chính ông là người đem soroban từ Trung quốc về, nhưng trong bất kỳ trường hợp nào ông là một chuyên gia sử dụng bàn toán và có công nhiều hơn bất cứ ai trong việc truyền bá thuật tính toán. Năm 1602 Mori xuất bản một cẩm nang nhỏ có tên Warizansyo, hay Phép Chia Dùng Soroban.

 

Chính Mori sở hữu một bộ sách Trung Hoa về soroban, cuốn Luận Thuyết Hệ Thống về Số Học nổi tiếng của Cheng Da-Wei, được in ở Trung Quốc năm 1593 và sau được được mang đến Nhật không lâu sau đó, nói cách khác, cùng lúc với soroban. Bộ sách của Cheng (xem Chương 2) có ảnh hưởng lớn tới lộ trình của toán học Nhật Bản độc lập với công việc của Mori. Không những ấn bản Nhật được in vào năm 1676 bởi Yuasa Ichirozaemon nhưng trước đó vào những năm 1620, Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672) đã nghiên cứu Luận Thuyết Hệ Thống về Số Học tường tận, thay đổi các bài toán cho phù hợp với người Nhật và bổ sung nhiều hình vẽ. Từ đó bộ sách của ông Jinko-ki, hay Số Lớn và Số Nhỏ, ra mắt năm 1627, trở thành bộ sách toán đầy đủ đầu tiên in tại Nhật.

 

Tựa Jinko-ki xuất xứ từ một bộ sách tôn giáo cũ của thế kỷ mười hai, cuốn Ryo Hisho, hay Các Bài Thơ Ngày Ấy. Cuốn Jinko-ki của Yoshida hầu hết liên quan đến các thuật tính toán mà hôm nay ta dùng máy tính để tính, như phép khai phương hay khai căn bậc ba. Ngay vừa phát hành quyển sách lập tức được truyền bá rộng rãi và lâu dài, suốt qua ba thế kỷ với hơn ba trăm ấn bản khác nhau. Nào là Tân Jinko-ki, nào là Bửu Bối Jinko-ki, hay Jinko-ki Toàn Tập, Cẩm Nang Jinko-ki . . . Lẽ dĩ nhiên, phần lớn là in nháy, còn chính Yoshida đã in ít nhất bảy lần. Trong bản in 1641, ông cho thêm một số bài toán mở cho đọc giả tự giải. Khi đọc giả gởi ông lời giải, ông sẽ in nó trong lần tái bản sau và bổ sung thêm một số bài tập mở nữa và cứ thế. Bằng cách đó nhiều sách toán của Nhật được in ra, với sự đóng góp của độc giả.

 

Một trong những bài toán mở trong Jinko-ki là bài toán liên quan đến việc tính số π. Để trả lời, nhà toán học Muramatsu Shigekiyo (1608-1695) cho in cuốn Sanso,, trong đó ông dùng đa giác đều có 2¹⁵ hay 32,768 cạnh để tính giá trị gần đúng của π = 3.14195264877. Trước đó một ngàn chín trăm năm Archimedes đã tính được số π bằng cách nội tiếp một đa giác đều n cạnh và tính xấp xỉ chu vi đường tròn bằng chu vi đa giác. Càng dùng nhiều cạnh giá trị tìm được càng chính xác. Chính xác hơn , Archimedes chặn số π bằng cách dùng đa giác ngoại tiếp và nội tiếp đường tròn, như vậy chu vi đường tròn bị chặn giữa chu vi hai đa giác. Dùng đa giác đều ngoại tiếp và nội tiếp có 96 cạnh, ông đạt đượckết quả 3 10/71 < π < 3 1/7

 

Muramatsu cũng dùng phương pháp tương tự, cũng như người đồng thời Isomura Yoshimori (1640-1710), đã sử dụng đa giác đều có 2¹⁷ = 131,072 cạnh nội tiếp trong đường tròn bán kính 1 và tính được chu vi là 3.141592664. Vì lý do nào đó ông chỉ cho đáp số π = 3.1416.

 

Nhà toán học nổi tiếng nhất của thời kỳ đó, Seki Takakazu (1640? – 1708) cũng tham gia thử thách. Dùng phương pháp của riêng mình, được các đệ tử in lại sau khi ông mất vào năm 1712 trong cuốn Sưu Tập những Kết Quả Toán Học Quan Trọng, ông tìm được π = 3.14159265359, đúng đến mười một chữ số thập phân. Học trò của Seki là Takebe Katahiro (1664-1739) thành công trong việc đẩy giá trị của π đúng đến 41 chữ số thập phân.

 Một bài tập soroban từ ấn bản sau này của Jinko-ki, khoảng 1818-1829.

Do vai trò quan trọng của họ, chúng tôi dành phần lớn chương 3 cho Jinko-ki, Seki, và các cách tính khác nhau của số π.

Thời điểm bắt đầu của nền toán học truyền thống Nhật Bản thường được đánh dấu bằng việc ấn hành bộ Jinko-ki vào năm 1627. Cửu Chương Thuật Toán, Luận Thuyết của Cheng, và những bộ kinh điển khác của Trung Quốc tiếp tục duy trì ảnh hưởng của chúng lên toán học Nhật Bản, trực tiếp hay qua các bản dịch, nhưng với việc thi hành sắc luật bế quan tỏa cảng sự phát triển của toán học Nhật nhanh chóng tách ra độc lập với Trung Quốc. Kỳ lạ thay, Jinko-ki không báo hiệu một cái chết lập tức của sangi (bàn toán Nhật). Bàn toán Trung Hoa soroban nhanh chóng thay thế sangi trong việc tính toán buôn bán hàng ngày, nhưng nó không thích hợp cho những phép toán đại số phức tạp, đặc biệt phép giải phương trình bậc cao mà các nhà toán học Nhật rất ưa chuộng. Kết quả là sangi đồng hành cùng với soroban đến tận thế kỷ thứ mười chín.

Các samurai (võ quan, võ sĩ đạo) là một vân đề lớn phải giải quyết trong thời kỳ Edo thái bình. Những thế kỷ chinh chiến đã biến họ thành những tên võ biền ít học, cần phải được giáo dục và thuần hóa lại. Triều đại Tokugawa bỏ ra nhiều công sức trong mục tiêu này, kết quả là chỉ trong vài thời đại các samurai đã trở thành tầng lớp có học vấn cao, giỏi việc văn thơ, am tường nghệ thuật, tương tự như giai cấp quý tộc bên trời Âu lúc đó. Phần lớn các võ quan, có thể nói là đã mất việc vì đất nước đang trong thời bình, biến thành các công bộc nhà nước. Một tuần ba bốn ngày họ phải đi đến các khu hành chính làm việc, nhưng lương bổng thì quá eo hẹp buộc họ phải gánh thêm một nghề tay trái. Vào thời kỳ Edo ở Nhật chưa có đại học nào. Kết quả là nhiều samurai làm thêm ngoài giờ bằng cách dạy học trong các trường tư thục gọi là juku, với bốn môn chính là đọc, viết, toán pháp và sử dụng soroban. Trong khi vào các thời kỳ trước, các samurai thường đi từng làng để đạc điền hay thu thuế, bây giờ họ ít lui tới hơn thành ra các nông dân thấy mình phải tự đo đạc lấy diện tích mảnh ruộng của mình. Do đó họ cũng bắt đầu dự các juku vì học phí rất phải chăng. Vì nhiều người thuộc đủ tầng lớp-từ người giàu đến kẻ nghèo, từ samurai đến nông dân – đi học, nên juku bắt đầu phát triển. Danh sách học viên tại một trường, juku Yoken, cho thấy có đến 2144 học viên, bao gồm nhiều người lớn, ghi tên theo học trong khoảng thời gian năm mươi năm.

Juku Yoken, nơi nhà toán học Sakuma Yoken (1819-1896) dạy cho 2,144 học viên qua nửa thế kỷ. (thành phố Tamura)

 

Giáo viên của họ là nhà toán học Sakuma Yoken (1819-1896), và ngôi trường nhỏ bằng gỗ đến nay còn đứng vững. Một khảo cứu gần đây cho biết, mãi đến thế kỷ mười chín, vào cuối thời kỳ Edo, vẫn còn khoảng 80,000 juku còn hoạt động trên khắp nước Nhật. Mặc dù, như ở trời Tây, các trẻ em được coi là thành phần lao động, việc giáo dục phổ thông do hệ thống juku mang lại đã khiến cho trình độ học tập ở Nhật thời đó lên cao so với những nước khác cùng thời.

Nhiều nhà toán học, thường là các samurai sau khi nhận được chứng chỉ “Thầy Toán”, đã lui tới các trường nông thôn này để dạy toán – và hiển nhiên không chỉ dừng lại ở loại toán giản đơn.

 

Từ môi trường này, hoàn toàn cô lập với thế giới phương Tây và dần dần đi chệch hướng với Trung Hoa, wasan đó, nghĩa là ”toán học Nhật Bản”, đã vươn lên. Những thường dân nào theo học ở juku không đủ phương tiện in ra những tác phẩm của mình, liền quay về với tục lệ thờ cúng chùa đền, bắt đầu nghĩ cách treo những sangaku, bằng cách đó họ vừa thực hành nghi lễ chiêm bái vừa quảng bá công trình của mình. Nhờ vậy mà một nghệ thuật kỳ diệu đã khai sinh.

 

Sangaku không phải là phương tiện duy nhất để truyền bá hình học. Người Triều Tiên đã in sách bằng trục gỗ lăn 100 năm trước Guttenberg, và các báo chí Triều Tiên lẫn châu Âu đã tìm đường đến nước Nhật trước khi bước sang thế kỷ 17. Tuy nhiên, như đã nói trước đây, việc in ấn trên giấy nếp bằng bản gổ được người Nhật ưa chuộng hơn, và đến cuối thế kỷ 17, các giáo trình toán học đã bắt đầu xuất hiện với số lượng lớn, nhiều cuốn trong đó chứa những bài toán tương tự  được viết trên các sangaku. Đôi khi các giáo trình này cho thêm lời giải không có trên sangaku, và chúng tôi đã chép lại cho vào sách này. Nhiều hình vẽ minh họa trong Toán Thiêng cũng lấy ra từ những sách in bằng giấy nếp từ thế kỷ 17 đến 19.

 

Như vậy, đến những năm cuối của thế kỷ 17, wasan, toán học truyền thống Nhật Bản, đã bắt rễ vững chắc. Nhưng phải đợi qua hai trăm năm tới, toán học truyền thống ấy mới sản sinh được những thành tựu xuất sắc và độc đáo nhất.

 

Sự Hưng Thịnh và Suy Tàn của Toán Học Nhật Bản

 

Chính trong thế kỷ 18, 19  khi sự cô lập của Nhật Bản đã ăn sâu, mới chứng kiến số lượng lớn nhất các giáo trình toán học truyền thống Nhật ra đời, những định lý thú vị nhất được chứng minh, và vô số các sangaku được tạo ra.

 

       Đa số các thành tựu mà các nhà toán học Nhật truyền thống đạt được không phải là những khai phá theo tiêu chuẩn phương Tây, một phần bởi vì người Nhật chưa bao giờ phát triển đầy đủ và hệ thống phép vi tích phân. Các nhà toán học Nhật cũng tìm được diện tích và thể tích của các hình, các khối tương tự như Eudoxus và Archimesdes tìm được trong thời kỳ Hy Lạp cổ đại (và công phu như chúng ta tính toán ngày nay bằng máy tính bỏ túi). Ví dụ, người ta cắt chia hình tròn bằng những mảnh hình chữ nhật, như trong hình dưới. Những mảnh càng hẹp tổng diện tích các mảnh càng gần bằng diện tích hình tròn. Bằng cách cho bề rộng các mảnh dần tiến đến không, người ta có thể tìm được công thức chính xác của diện tích hình tròn. Cái ý tưởng này tạo thành nền tảng cho cái gọi là Enri (“Yenri”), một thuật ngữ mơ hồ có nghĩa “nguyên tắc đường tròn,” nhưng theo ngôn ngữ bây giờ các sinh viên sẽ gọi là tích phân xác định. Và như ta biết, có nhiều cách tính diện tích các hình bằng cách chia cắt chúng bằng những mảnh nhỏ hơn rồi cho bề rộng các miếng này dần tới không. Người ta có thể lặp lại thao tác ấy với mỗi hình mà không chứng minh định lý tổng quát về giới hạn vốn học sinh không ưa, nhưng vì không có được những định lý như thế (định lý nền tảng của giải tích), bạn phải tính tích phân xác định một cách trực tiếp và nhọc nhằn cho mỗi tình huống mà không có được phương pháp tổng quát và thuận tiện thông qua việc tìm nguyên hàm hay tích phân bất định. Đó là tình trạng chung của toán học truyền thống Nhật.

 

Mặc dù những hạn chế này, ta không thể vội kết luận là toán học Nhật thiếu sáng tạo. Seki đã phát triển một lý thuyết về định thức trước cả Leibnitz, và những nhà hình học Nhật khác đã chứng minh được một số định lý nổi tiếng trước cả những đối thủ của họ ở trời Tây, hay ít nhất là độc lập với họ, trong đó có định lý đường tròn Descartes, bài toán Malfatti, định lý Casey, bài toán sáu hình cầu của Soddy, và một số khác.

 

Hơn nữa, các nhà toán học Nhật cực kỳ khéo léo trong việc giải các phương trình bậc cao. Chúng tôi nhấn mạnh là bậc cao. Trong nhật kỳ của Yamaguchi, ta sẽ bắt gặp một bài toán nổi tiếng, bài toán điện thờ Gion, trong đó phải giải phương trình bậc 1.024. (Trong khi học sinh phương Tây ngày nay còn sợ cả phương trình bậc hai!) Nhà toán học Ajima Naonobu (1732-1798) trở nên nổi danh vì đã giảm xuống thành phương trình bậc mười, nhờ đó có thể giải được bằng số. Ajima đã chứng minh được một số định lý khó trong hình học, mà chúng ta sẽ bàn luận trong chương 3, và trong số các nhà toán học Nhật, ông là người đến gần nhất với định l{ đầy đủ của tích phân xác định.

 

Từ cuốn Toán Học Mới và Cũ (1671) của Sawaguchi Kazuyuki, hình này minh họa cách tính diện tích hình tròn bằng cách cắt lát nó ra từng mảnh hình chữ nhật. Trong giáo trình giải tích hiện nay ta cũng tiến hành tương tự. (Đại Học Giáo Dục Aichi)

 

Công trình của Ajima tiếp nối công trình của người đi trước ông là nhà toán học Matsunaga Yoshisuke (1692?-1744), người đã nghiên cứu các chuỗi vô hạn và ứng dụng của chúng cho việc tính toán các diện tích bằng tích phân. Theo chân là Wada Yasushi (1787-1840), dù sống trong cảnh nghèo khó, vẫn sáng tạo ra một số bảng tích phân xác định. Uchida Kyo (1805-1882) nghiên cứu tích phân trong cuốn juku của Wada, rồi viết ra một số bộ sách về thuật tính tích phân các khối, kể cà những diện tích phần giao của các khối trụ, khối cầu, . . . Chúng tôi thách thức bạn thử giải các bài toán loại này trong các chương 5 và 6.

 

Như đã nói, nhiều bài toán sangaku cũng có mặt trong các giáo trình toán truyền thống. Fujita Sadasuke (1734-1807) in một quyển sách có tựa Toán Học Tinh Tế, và con ông, Fujita Kagen (1772-1828) tiếp tục truyền thống với tác phẩm Toán Học nơi Điện Thờ và Phật Tự, cũng có khi được biết dưới tên Toán Thiêng, là bộ tuyển tập đầu tiên các bài toán sangaku. Một số các bài toán nổi tiếng xuất hiện trong sách của chúng tôi cũng lấy ra từ nguồn đó.

Khi thời gian đi qua, tin tức về toán học phương Tây lọt vào nước Nhật qua các tờ báo Trung Hoa và Hà Lan ở Nagasaki. Chẳng hạn, người Nhật đã biết về logarit từ một ấn phẩm 1713 của Trung Quốc. Hay vào năm 1824, một nhà toán học Nhật tỏ ra kinh ngạc khi thấy được trong một tờ báo Hà Lan bức vẽ một elip-ký, một dụng cụ giúp ta vẽ được một đường elip, được biết đến ở Âu châu ngay từ thời Leonardo da Vinci. Vào giữa thế kỷ mười chín người ta còn tìm thấy những bản thảo chứa cả ký hiệu phương Đông lẫn phương Tây.

 

Nhưng wasan vȁn giữ vững cho đến khi dòng họ Tokugawa mất hết quyền lực vào năm 1868, một hậu quả trực tiếp từ việc Đô Đốc Perry của Hoa kỳ làm áp lực bắt Nhật mở cửa bang giao với phương Tây. Chính quyền mới Meiji (Minh Trị) cho rằng muốn đất nước ngang hàng với các ngoại bang, mình phải nhanh chóng cách tân. Kế sách cách tân có bao gồm  toán học. Các trường công mọc lên khắp Nhật Bản và vào năm 1872 Luật Giáo Dục Cơ Bản của các nhà lãnh đạo Minh Trị quy định là “Ở trường chỉ được dạy toán học Tây phương, không được dạy wasan.”

 

Nhờ có hệ thống juku, toán học đã nảy nở ở Nhật Bản và toán học Tây phương – yosan– dễ dàng được giới thiệu và mau chóng được tiếp nhận. Dĩ nhiên người bảo thủ kháng cự đến cùng. Một trong những samurai cuối cùng, Takasu Kenjiro (1821-1883), đã viết, “Thiên văn và các ngành khoa học vật lý ở Tây phương là những chân lý vĩnh cữu và không thể thay đổi được, điều này chúng ta hiểu, nhưng về toán học, nước Nhật chúng ta đứng đầu thế giới.” Cuối cùng thì chống đối cũng vô ích. Với Luật Giáo Dục của Minh Trị, các thầy giáo dạy wasan mất việc và wasan cũng vì thế phải đến hồi tiêu vong. Đứng trên quan điểm thuần túy toán học, cái chết của nó không đáng để tiếc nuối quá nhiều, nhưng trên quan điểm thẫm mỹ chắc chắn chúng ta đã mất đi điều gì đó khi những người yêu quý toán học truyền thống cuối cùng phải nói lời từ biệt với những bài toán đẹp đẽ và những mộc bản họ dâng tặng cho cuộc đời. Chúng ta chỉ còn tỏ lòng biết ơn đến những gì còn lưu lại.