Fukugawa Hidetoshi
Tony Rothman
Nguyễn Hữu Anh dịch
Đây là họa phẩm của nghệ sĩ Keisei Eisen (1790-1848). Bản in này lấy từ loạt tranh “Sáu Mươi Chín Phu Trạm ở Kisokaido,” mà Eisen sáng tác giữa những năm 1834 – 1842. Bức tranh vẽ lại đoạn người ngựa gần Oiwake, dưới chân núi Asama, mà nhà toán học Yamaguchi đã đến thăm trong chuyến đi của ông.
Năm Nhật Ký Du Hành của Nhà Toán Học Yamaguchi Kanzan
Toán học phát triển từ những mối quan hệ giữa các đường tròn và hình vuông. Toán học là một trong lục nghệ: lễ, nhạc, cung, kỵ, thư pháp, và toán học. Những ngành học này là đặc trưng của con người và loài vật không cần đến. Thầy Takeda đã nghiên cứu toán học từ khi còn trẻ.
Trong điện thờ này, những đệ tử của thầy đã cầu Ơn Trên phù hộ cho họ được tiến bộ trong kỹ năng giải toán và dâng tặng một bản sangaku.
_ Lời nói đầu trên bản gỗ do Kakuyu, một đệ tử của Takedo treo vào năm 1815
Nhờ vào chính sách sakoku (bế quan tỏa cảng), Nhật bản không kinh qua những xung đột chính yếu đến từ bên ngoài trong gần ba trăm năm. Mặc dù thỉnh thoảng đất nước bị loạn lạc vì những cuộc nổi dậy của nông dân, thời kỳ Edo có thể được coi là thời kỳ yên bình theo những tiêu chuẩn của thế giới, khi đó du lịch rât được thông dụng. Dân chúng đi lại nhiều, hoặc đi thưởng ngoạn những thắng cảnh, hoặc đi hành hương đến những chùa chiền hoặc điện thờ. Thường thì người Nhật bản đi bộ, ít khi đi ngựa, như các nước phương Tây, ngủ trọ tại các khách điếm (nhà trọ) hoặc ở nhà bạn bè, đôi khi ở ngay trong các đền hay chùa.
Nhà thơ Matsuo Basho nổi tiếng vì những chuyến đi lang thang cũng như những vần thơ haiku của mình, và từ những nhật ký du hành của ông, ta biết được ông thường dừng chân tại nhà các bạn bè trên dọc đường gió bụi của mình.
Các nhà hình học Nhật bản cũng không kém các nhà thơ. Một số các nhà toán học thế kỷ 19, như Hodoji Zen (1820-1868) và Sakuma Yoken (1819-1896) dùng các chuyến đi điền dã để dạy toán, cổ vũ các nhà yêu thích hình học nghiệp dư, và để treo các bản gỗ trong những điện thờ trên khắp xứ Phù Tang.
Trong số những kẻ du hành này có Yamaguchi Kanzan.Tiểu sử của ông như sau:
Ông sinh khoảng năm 1781 ở Suibara của tỉnh Niigata, học toán tại Edo tại trườngHasegawa Hiroshi, và mất năm 1850. Ta biết tiểu sử của ông thì ít, ngược lại những gì ta biết nhiều là những sangaku lấy từ nhật ký của ông viết trong sáu chuyến du hành giữa những năm 1817 đến 1828.
Nhât ký của Yamaguchi rất phong phú, dày đến 700 trang. Trong đó ông mô tả phong cảnh, những cuộc mạn đàm với bạn bè và những đồng nghiệp toán học khác, cũng như ghi lại những bài toán viết trên 87 bản gỗ, trong đó chỉ còn 2 bản còn sót lại đến ngày nay. Số phận của cuốn nhật kỳ cũng tối tăm như số phận của tác giả. Hình như Yamaguchi có dự định ấn hành nhật ký du hành của mình, dưới tựa đề Du Hành Toán Học. Ít ra trong tác phẩm Tóan Học Xúc Tích của Shino Chigyo xuất bản năm 1837, tác giả đã viết những lời quảng cáo sau:
Nhà toán học Yamaguchi đã du hành trên khắp nước Nhật trong sáu năm, từ mùa xuân 1816 đến mùa đông 1821. Cùng với nhiều nhà toán học ở khắp nơii, ông đã thảo luận nhiều phương pháp giải toán mới. Nếu bạn mua quyển sách này, bạn có thể thu thập được nhiều kỹ năng giải toán mới của các nhà toán học xa gần mà không cần đi đâu xa.
Mặc dù tác giả hứa hẹn, cuốn Du Hành Toán Học vẫn không được ấn hành. Dù sao đi nữa, nhật ký gốc của Yamaguchi còn được giữ nguyên và trưng bày ở thị trấn Agano như là một di sản văn hóa. Vì chúng tôi thường không có thông tin nào khác trên những bản gỗ mà Yamaguchi mô tả, nhật ký của ông là một nguồn tài liệu duy nhất cho các sử giả muốn chấp nối tạo thành lịch sử của toán học Nhật Bản. Cuốn sách chưa bao giò được dịch ra đầy đủ, ngay cả ra tiếng Nhật hiện đại, và những phần được dịch ra thì không chứa nội dung toán học. Chúng tôi rất hân hạnh được giới thiệu đầu tiên đến độc giả Tây phương tài liệu hiếm có này. Với bảy trăm trang, không thể trình bày ngay cả một phần nhỏ.
Yamaguchi Kanzan đã đi theo tuyến đường trong hình trên Trong chuyến đi sangaku thứ ba, kéo dài hơn hai năm trong thời gian 1820-1822. Y1, . . , Y26 chỉ những điểm dừng chân chính mà ông đã đề cập trong nhật ký.
Trong chương này chúng tôi chỉ trích một số trang trong nhật ký về chuyến đi thứ ba của ông (1820-1822), trong đó ông ghi lại nhiều bài toán hơn trong cả năm chuyến đi khác cộng lại. Một số bài toán hơi đơn giản hợp với trình độ phổ thông.
Nhưng phần lớn, theo ý chúng tôi, thì rất khó và một hai bài đến nay vẫn chưa giải được. Các cao thủ hình học có thể sẵn sàng tuốt kiếm; những người khác chỉ biết đơn giản trầm trồ vẻ đẹp và thiện xảo của những bài toán. Độc giả quan tâm có thể theo dõi lộ trình của Yamaguchi trên bản đồ ở hình trên, trong đó ký hiệu Y1, Y2, . . . chỉ những điểm dừng chân của Yamaguchi trong chuyến đi thứ ba của mình.
Hai trang từ nhật ký của Yamaguchi, cho thấy một số bài toán, kể cả bài toán được đánh số 10 trong chương này
Từ ngày 22 tháng 7, 1820 đến ngày 21 tháng tám, 1820
Y1
Ngày 22/7/1820: ” Nhiều bạn bè đến tiễn tôi rời Edo lên đường trên chuyến đi dài, tặng tôi vài bài thơ haiku giã từ . . . Sau 10 ri (40 km), tôi đến Fuchu và thăm đền Roku. Đêm, tôi dừng lại tại nhà nông dân Yohachi.”
Ngày 26/7: “Tôi đi qua thị trấn thành lũy Takasaki và tôi nhớ đến nhà toán học Ono Eijyu sống tại đây.” [Nhà toán học Ono Eijyu (1763-1831), một học sinh của trường Fujita Sasuke đã huấn luyện nhiều học viên thành nhà toán học và nhiều lần giúp nhà địa lý Ino Tadataka (1745-1818) vẽ bản đồ nước Nhật.]
Y2
Ngày 27/7: Tôi đến thăm đền Hakuunsan và lặn lội băng qua con sông gần đó vì mùa này lòng sông khô cạn. Vượt trạm gác, tôi đến đường dốc Usui và thăm đền Kumano ở trên đồi và thưởng thức bản khắc gỗ trong điện thờ. Tôi ghi lại những bài toán trong bản gỗ ở đền Kumano trong nhật ký của mình. Đặc biệt, lời nói đầu của bản gỗ rất thú vị.
Bản gỗ này là do Ono Eijyu treo tại đền Kumano năm 1801, với lời nói đầu nhưsau: “Ông Tsunoda, người treo bản gỗ này bị mù bẩm sinh. Ông đến thăm tôi và bảo là ông tha thiết muốn học toán và vì thế tôi giới thiệu ông đến thầy tôi là Fujita Sadasuke ở Edo. Tsunoda học toán và treo bản gỗ này ở đền Kumano.”
Ngày 28/7: “Ở đây có một ngọn núi đẹp tên Asama. Khi ngước nhìn ngọn núi, tôi hăng hái muốn chinh phục nó. Núi cách nhà bạn tôi là Jinzamon 5 ri (20 km) nơi đó tôi ngủ qua đêm. Khi leo xuống núi, tôi đi lạc đường nhưng không gặp trở ngại gì.”
Ngày 2/8: ”Tôi thăm đền Suwa ở làng Sakashiro và bắt gặp một bản gỗ.”
Yamaguchi ghi lại tất cả bài toán trên bản gỗ này, do Kaji và Kobayashi treo năm Kobayashi viết,”Tôi đã hào hứng thảo luận các vấn đề toán học suốt ngày với bạn tôi. Sau đó chúng tôi quyết định treo một bản gỗ tại đền này. Chúng tôi hy vọng du khách có thể thưởng ngoạn và góp ý.”
Ngày 14/8: “Băng qua con sông cái Chikuma bằng thuyền, tôi đến thăm làng Hachiman, hôm đó đang tổ chức lễ hội nên có rất nhiều người tụ tập vui chơi. Trong một ngôi làng nhỏ gần đấy, tôi bắt gặp và ghi lại một bản gỗ do Okuma treo vào năm 1795, và đêm đó tôi ngủ tại nhà một người bạn là Kitamura, một nông dân.”
Ngày 15/8: “Cùng với bạn Kitamura, tôi tham dự lễ hội. Chỗ này rất đẹp nên tôi không cầm lòng được phải vẽ một ký họa trong nhật ký. Sau đó, tôi đến thăm ngôi đền Zenkoji uy nghi cách đó một ri (4km). Lễ bái tại ngôi đền này là một trong những mục tiêu của chuyến đi.”
Y3
Ngày 17/8: “Cuối cùng tôi có thể đến thăm đền lớn Zenkoji ở Nagano và thưởng ngoạn vẽ đẹp uy nghi của nó. Hôm nay là ngày lễ nên có nhiều người đến thăm đền như tôi. Chiều đến, tôi bước vào khách điếm ở Fujinoya. Đến nửa đêm tôi ra khỏi khách điếm và đến thăm nhà khách của đền Zenkoji và ngủ đêm tại đây. Chỉ có những khách viếng nào có giấy phép đặc biệt mới nghĩ đêm được tại đền. Sáng hôm sau tôi ghi lại những bài toán ở bốn bản gỗ tại đền.”
Chúng tôi sắp xếp ba bài toán ở bản gỗ Zenkoji là ba bài 1, 2, 3.
Bài Toán 1
Bài toán này do Seki Terutoshi treo tại đền Zenkoji vào năm 1804.
Ta có đa giác đều n cạnh có độ dài a. Từ đỉnh A ta vẽ những dây như hình dưới, và n – 2 đường tròn nội tiếp có bán kính rk (k = 1, 2, . . . , n – 2). Tìm bán kính rk của tất cả đường tròn nội tiếp theo a.
Yamaguchi không ghi lại đáp số vì nó quá phức tạp.
Bài Toán 2
Bài này rút ra từ bản gỗ thứ hai ở đền Zenkoji do Kobayashi treo vào năm 1796.
Một tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn lớn bán kính R và tiếp xúc với một đường tròn nhỏ hơn bán kính r. Tính r theo R và tích AC x BD.
(Gợi ý: Bản gỗ chỉ cho đáp số trong trường hợp đặc biệt : Nếu 2R = 12 và AC x BD = 112, thì 2r = 7).
Đáp số tổng quát là:
Y4
Ngày 20/8: “Đi vào thị trấn Takada ở Niigata gần cảng, tôi đến thăm đền Siwa và ghi lại những bài toán ở bản gỗ do Yoshizaea đề nghị năm 1803. Hôm đó tôi nghĩ tại nhà bạn Yoishi ở thị trấn Ima.”
Bài Toán 3
Đây là bài toán từ sangaku thứ ba ở đền Zenkoji, được Saito Mitsukuni treo năm 1815.
Cho cung tròn AB và dây AB. Trung trực m của dây AB chia đôi cung AB. Ta vẽ hình vuông có cạnh d và đường tròn nội tiếp bán kính r. Cho AB = a và đặt p = a + m + d + r và q = m/a + r/m + d/r, tính a, m, d, và r theo p và q.
Chúng tôi không thể giải bài toán này. Theo thiển ý, bài này không tự nhiên, câu hỏi có vẻ giả tạo, khi yêu cầu tính theo p và q! Đáng ra, nên yêu cầu tính d và r theo a và m mới hợp lý hơn. Trên bản gỗ, Saito viết: “Bài toán này đầu tiên do Tsuda Nobuhisa đề nghị năm 1749 trên bản gỗ treo tại đền Gion ở Kyoto. Tsuda đưa ra đáp án với một phương trình bậc 1024 theo a. Nhưng nhà toán học lừng danh Ajima Naonobu chỉ đưa ra một phương trình bậc 10. Trên bản gỗ này, tôi chỉ trình bày phương trình của Ajima.” Tuy vậy Yamaguchi không ghi lại phương trình này.
Bài toán nổi tiếng này trong lịch sử toán học Nhật Bản được mang tên là bài toán đền Gion, vì nó được tìm thấy trên sangaku ở điện thờ Gion ở Kyoto. Như đã nói, bài giải gốc có bậc 1024 theo độ dài của dây cung, nhưng vào năm 1774 Ajima Naonobu giảm nó xuống còn bậc 10 theo một phương pháp giống như Laplace đã dùng năm 1772 để khai triển các định thức. Kỳ công của Ajima, được thực hiện ở tuổi 42, mang đến tiếng tăm lẫy lừng cho ông như một nhà toán học. Mục đích chính của bài toán là tìm một phương trình bậc cao một ẩn, mà nghiệm của nó có thể được xác định bằng số bằng cách sử dụng triệt để sangi (chương 1). Phương trình Ajima cần trọn một trang mới viết ra hết.
Đền Zenkoji ngày nay
Ngày 12/9: “Tôi sẽ dừng chân ở đây trong làng Yada cho đến 19/1 năm sau.”
Từ ngày 19 tháng 1, 1821 đến ngày 19/11, 1821
Ngày 19/1/ 1821: “Tôi đã rời làng Yada và đang đi về hướng làng Haruta.”
Ngày 22/2: “Trong khi ở lại nhà bạn Eguchi Shinpachi, con trai của anh là Tamekichi nhờ tôi dạy cho cháu toán và nhận làm học viên trường Yamaguchi.”
Y5
Ngày 21/3: ”Sau khi đến thành phố Shibata, tôi đã ở tại nhà bạn tôi là Minagawa Eisa.”
Ngày 24/4: “Ở làng Suibara, nơi chôn nhau cắt rốn của tôi, tôi đã ở lại chơi hơn 20 ngày. Giờ tôi sẽ lên đường đi đến thành phố Nagaoka.”
Y6
Ngày 26/4: “Đến Nagaoka, tôi thăm đền Yukyuzan và ghi chép hai bản gỗ. Một do đệ tử của Fujita đề nghị năm 1798 và cái còn lại là như sau:. . .”
Bản gỗ này được ba nhà buôn treo vào năm 1801. Nó vẫn còn giữ lại đến ngày nay, có kích thước 105 cm x 57 cm.
Ngày 16/9: “Tôi đang ở nhà bạn tôi là Arakawa được vài tháng rồi trong làng Yamadani và hôm nay sẽ ra đi. Tôi sẽ đến thăm đền Gochinyorai và ghi chép lại những bài toán sangaku do Ohta Sadaharu đề nghị vào năm 1806.”
Y7
Ngày 25/9: “Khi đi ngang bờ biển dốc đá hiểm trở Oyashirazu nổi tiếng, tôi rất thận trọng.”
Ngày 30/9/: “Cạnh quán trọ có một con sông lớn là Kurobe, tôi chiêm ngưỡng cây cầu xinh đẹp dài 36 ken (70m) chỉ có một nhịp bắc qua lòng sông.”
Y8
Ngày 3/10: ”Tôi đã đến thị trấn đồn lũy Kanazawa. Thị trấn quá lớn có đến hàng trăm ngàn nóc gia. Còn ngày đầu tháng mười tôi đã lưu lại thị trấn đồng lũy Toyama chỉ có mười ngàn nhà.”
Y9
Ngày 7/10: “Tôi đã đến và thăm đền Asahikanzeon ở Sabae và ghi lại những bản sangaku như sau: . . .” Bản gỗ này, do Momota trình bày năm 1807, đã mất tích. Chúng tôi đã trích ra một bài tập trong bản gỗ làm bài tập sô 4.
Bài Tập 4
Giải hệ phương trình ẩn x, y, và z.
Bản cho nghiệm là x = 78.125 = 57 , y = 16.384 = 47, và z = 2.187 = 37. Nó cũng cho biết đáp số trong trường hợp tổng quát với hệ số nguyên. Hệ đưa đến phương trình bậc 49.
Chúng tôi không thể tìm ra phương trình đó.
Y10
Ngày 8/11: Yamaguchi đến thăm thị trấn Tsuruga cách Kyoto 25 ri (100 km).
“Trong thị trấn, tôi gặp nhà toán học Masuda Koujirou mang đến tôi ba bài toán nhờ giải hộ. Tôi giải được và chép cho ông lời giải. Tôi đã ghi lại những bài toán này trong nhật ký của mình.” Chúng tôi đã chọn hai bài trong đó làm bài 5 và 6.
Ngày 14/11: “Tôi đã dừng tại nhà Kanbe tại làng Minamishinbo thuộc Takashima. Tại đây, Kanbe trao tôi một bài toán do Enoki từ Kyoto gởi đến. Bài toán do ai đó ở Osaka đưa ra.” Bài này được ghi lại là bài 7.
Ngày 16/11: “Đi dọc theo bờ hồ lớn nhất nước Nhật Biwako, tôi dừng chân tại thắng cảnh Ukimido.”
Ngày 19/11: “Tôi đã đến cố đô Kyoto. Trong thành phố này có rất nhiều đền và chùa, miếu mạo. Tôi sẽ dừng chân ở đây đến suốt năm để thưởng ngoạn nó.”
Bài Toán 5
Như trong hình cho thấy, sáu đường tròn bán kính r và ba đường tròn bán kính t nội tiếp trong đường tròn lớn ở ngoài sao cho chúng cũng tiếp xúc với tam giác đều. Nếu bán kính đường tròn ngoài là R, hãy tính t theo R.
Masuda nhờ Yamaguchi giải bài toán này vì ông không làm được. Yamaguchi đưa ông đáp số:
Nhưng là đáp số sai. Đáp số đúng là:
Bài Toán 6
Một hôm, Ino Shujiro, 35 tuổi, người con trai thứ hai của nhà trắc địa nổi tiếng Ino Tadataka (1745-1818) , người đầu tiên lập ra bản đồ chi tiết của nước Nhật cho dòng họ trị vì Tokugawa, đến thăm Masuda và đưa ra bài toán sau đây:
Đường tròn nhỏ nội tiếp trong tam giác vuông ABC tiếp xúc cạnh AB tại Q. Một đường tròn lớn hơn đi qua đỉnh A và B và tiếp xúc đường tròn nội tiếp như hình vẽ. Gọi p là độ dài đoạn trung trực của AB và q là độ dài đoạn AQ, tìm hệ thức giữa p và q.
Masuda giải được bài toán đơn giản này ở mức độ hình học phổ thông và trao cho Ino đáp số: q = 2p.
Bài Toán 7
Về bài toán bên dưới, Kanbe nói với Yamaguchi, “Có người ở Osaka khoác lác về bài toán này với Enoki.” Yamaguchi trả lời Kanbe, “Tôi đã nghiên cứu bài toán này trong bốn, năm năm trời và cuối cùng, mùa xuân này, tôi đã tìm ra lời giải. Nhưng bài toán này không được hay. Tôi có lời khuyên mỗi học viên nên nghiên cứu thêm về toán học trong giáo trình hơn là cố giải những bài toán như thế này.”
Độc giả có thể không thích bỏ ra bốn hay năm năm cho bài toán này,và nó như sau.
Ba đường tròn, một bán kính a và hai bán kính b, nội tiếp trong vòng cung như trong hình. Hai tam giác đều có chiều cao p cũng nội tiếp trong vòng cung và tiếp xúc vớiđường t ròn. Tìm p theo a và b.
Người đề nghị ở Osaka cho một ví dụ:
Nếu a = 3 và b = 1.5 thì p = 5.25.
Kết quả tổng quát là:
p = (3a + b)/2.
Ngày 2 tháng 2 năm 1822 đến Ngày 1 tháng 12 năm 1822
Ngày 2/2, 1822: “Tôi đã trả 120 mon (khoảng 5 đôla) để thuê một con thuyền dạo chơi quanh đảo nhỏ Chikubu trong hồ Biwado. Sau đó tôi đến thị trấn thành lũy Hikone, tại đó tôi thăm nhà toán học Matsumiya Kiheiji và ở lại nhà ông. Ông đưa cho tôi một bài toán chưa giải được và một bài toán trên bản gỗ trong đền Taga như sau: . . . “ Hai bài toán này là bài toán 8 và 9 dưới đây.
Bài Toán 8
Đây là bài toán không giải được mà Matsumiya đề nghị.
Một cung tròn qua đỉnh A và B của một tam giác vuông ABC và tiếp xúc với tam giác tại B. Chia cạnh BC thành tám phần bằng nhau và dựng những đoạn vuông góc lk (k = 1, 2, . . . , 8). Tìm độ dài của lk (k = 1, 2, . . . , 8) theo các độ dài a = BC và b = AC.
Đáp số:
Với r = (a2 + b2)/2b
Bài Toán 9
Đây là bài toán sangaku vẽ trên quạt treo tại đền Taga do Katori Zentaro đề nghị, không rõ vào năm nào.
Đường tròn lớn bán kính r tiếp xúc với ba cạnh của hình chữ nhật ABCD như trong hình.
Chú ý AB < BC. Từ D ta vẽ một đường tiếp xúc với đường tròn lớn và các đường tròn nhỏ và đến cạnh kia của hình chữ nhật. Giả sử hai đường tròn nhỏ đều có bán kính t.
Tìm diện tích của phần tô xám S1 theo diện tích phần tô đen S2 .
Đáp số:
Y11
Ngày 6/2: “Tôi đến thăm đền lớn Ise và dừng chân tại một quán trọ. Tôi nghe đồn có nhà toán học Koyama Kaname ở thành phố Sendai đang ngụ tại một quán trọ.gần đó.Vì thế tôi đến ngay đó nhưng khổ thay không gặp được ông, vì lúc đó ông đã ra ngoài.” Thế là Yamaguchi đến thăm đền Seihoji, tại đó ông tìm thấy hai bản sangaku và ghi chú, “Tôi đã ghi chép lại bản sangaku do Sawai treo năm 1786 và bản khác do Koyama treo năm 1819, trong đó có phê phán một lời giải sai trong bản gỗ của Sawai.”
Ngày 18/2: “Tôi đến Wakayama và ở lại nhà của nhà toán học NunomuraJingoro. Thầy giáo của ông là một đệ tử thế hệ thứ hai của nhà toán học lừng danh Fujita Sadasuke. Nunomura đưa tôi những bài toán ở đền Kofukuji tại Nara.”
Y12
Ngày 24/2: “Tôi đã đến thăm đền lớn Himae ở Wakayama và ghi chép lại những bài toán sangaku do Shintani Benjiro treo vào năm 1806.” Đến chiều, Yamaguchi đến thị trấn Ki-Miidera và ở lại nhà của thợ mộc Benzo.
Ngày 28/2: “Khi tôi vào thành phố Osaka, tôi đến thăm nhà toán học Takeda Atsunoshin, đệ tử của Ban Shinsuke. Takeda cũng là một nhà thiên văn. Trong thành phố tôi bắt gặp những tờ rơi kích thước 7 sun x 3 sun (20 cm x 9 cm) loan báo một bài nói chuyện về thiên văn của Takeda. Tại nhà mình, Takeda trao cho tôi bài toán của ông.”
Y13
Ngày 29/2: “Tôi đến thăm lâu đài Osaka, đẹp không thể nói hết được. Sau đó tôi thăm đền Tenman và ghi chép lại ba bản sangaku.”
Trên bản thứ nhất là lời nói đầu mà chúng tôi đã viết lại ở đầu chương này. Tôi dành một bài toán ở bản thứ ba để làm bài toán thứ 10.
Bài Toán 10
Bản gỗ thứ ba ở đền Tenman do nhà toán học Takeda Atsunoshin treo năm 1822. Takeda viết lời nói đầu:
“Các học trò của tôi mỗi ngày đều học tập để giải càng nhiều bài toán do tôi đưa ra càng tốt. Tôi muốn tập hợp những bài giải hay vào mộtcuốn sá ch tựa đề Các Bài Toán Cực Trị.Trên bản gỗ này, tôi đã tuyển chọn và bổ sung một số bài toán hay về giá trị cực trị và đề tặng bản gỗ này cho đền thờ để các học trò tôi có thể luyện tập nhằm nâng cao kỹ năng toán học.”
Trong số 14 bài toán trên bản gỗ, bài sau đây do một học trò của Takeda đề nghị:
Trong hình quạt AOB của đường tròn bán kính r, vẽ một đường tròn bán kính x tâm O.
Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn nhỏ như hình vẽ. Khi x thay đổi, diện tích S(x) của phần tô đen sẽ thay đổi theo. Chứng tỏ rằng S(x) lớn nhất khi x gần bằng (293/744)r.
Minh họa gốc của bài toán 10 trong cuốn Sanpo Binran 1826 của Takeda (Sưu tập của
Fukagawa Hisetoshi)
Ngày 4/3: “Tôi đã đến thành phố Tatsumo gần Himeji và thăm đền Syosya để ghi lại bản sangaku do Sawa đề nghị năm 1821. Buổi chiều, Sawa đến thăm tôi và đưa cho tôi một bài toán chưa giải được và hai bài toán của đền Syosya. Tôi đã chép chúng lại vào nhậtký của mình như sau: . . .”
Hai bài toán này là bài 11 và 12
Bài Toán 11
Năm đường tròn bán kính a, b, và c nội tiếp trong hình viên phân của một đường tròn lớn. Biết a = 72, b = 32, tìm c.
Đáp số:
Bài Toán 12
Bài này cũng do Sawa Masayoshi đề nghị, và vẫn chưa giải.
Một elip nội tiếp trong một tam giác vuông và trục lớn của nó song song với cạnh huyền. Trong elip có hai đường tròn nội tiếp bán kính r. Một đường tròn thứ ba bán kính r tiếp xúc elip và hai cạnh góc vuông, a và b. Tìm r theo a và b.
Y14
Ngày 7/3: Nhà toán học Horiike Hisamichi treo vài bản sangaku, một tấm ở đềnKibitsu tại Okayama và một tấm khác ở Suzuka tại Ise, cách xa Okayama. Yamaguchi viết, “tôi đã thăm đền Kibitsu ở Okayama và tìm thấy một bài toán do Horiike đề nghị năm 1804, và đã chép lại trong nhật ký.”
Y15
Ngày 8/3: “Eo biển Seto Nai Kai rất đẹp và tôi băng qua nó bằng phà. Tôi bước lên một ngọn đồi dốc cao ở Kagawa và đến thăm viếng đền Kotohira trên đỉnh đồi.”
Y16
Ngày 21/3: “Suối nước nóng Dogo là một điểm đến trong cuộc du hành và khi đến nơi, tôi đã thấy nhiều du khách đang ngâm mình trong lòng suối nóng.”
Đền Isaniha ở Dogo có 22 bản sangaku còn sống sót. Khi thăm Dogo, Yamaguchi có thể đã thấy được 2 bản gỗ trong số này tại đền Isaniha gần đó. Tuy nhiên không thấyông nhắc đến chúng.
Đền Isaniha ngày nay. Các chú khỉ không phải đang nghiên cứu toán học. Chúng đang khuyến cáo du khách nên “không thấy điều ác, không nghe điều ác, không nói điều ác.”
Y17
Ngày 22/3: “Qua phà thêm một lần nữa, tôi băng qua eo biển và đến chiều thì tới đền cổ Itsukushima ở Hiroshima.”
Y18
Ngày 11/4: “Qua nhiều thành phố, tôi đến gần Hakata. Tôi xem phong cảnh quanh đền lớn Kashii và đến thăm đền Hakozaki, tại đây tôi ghi chép những bài toán sangaku do Narazaki Hozuke đề nghị năm 1807. Sau đó, tôi đến thăm nhà toán học Hiroha và hào hứng thảo luận toán học với ông. Ông đưa cho tôi bài toán sau đây.”
Đó là bài toán số 13 dưới đây của chúng tôi. Cùng ngày, Yamaguchi đến Hakata thuộc tỉnh Fukuoka.
Ngày 15/4: “Khi tôi dừng chân tại tòa thị chính ở Hakata, tôi nhận được vài bài toán chưa giải do Harada Danbe từ thành phố Hamamatsu gởi đến.”
Harada Danbe đã từng treo một bản sangaku ở đền Akiha.
Ngày 3/5: Trong thời kỳ Edo chỉ có một thành phố được mở cửa với phương Tâylà Nagasaki, vì thế Nagasaki là trung tâm thương mại quốc tế rất phát triển.
“Khi tôi đến Nagasaki, tôi chứng kiến nhiều sự kiện hấp dẫn đến nổi phải dừnglại đó vài ngày . Tôi đến thăm đền Suwa và ghi chép lại một bản sangaku.“ Bài toán này do Kitani Tadahide đề nghị năm 1819.
Y19
Ngày 21/6: “Tôi rời Nagasaki để đến Kurume mà lòng còn vương vấn, tại đó tôi
thăm đền Takarao và ghi chép lại một bài toán sagaku.”
Bài toán này do Ukawa tsuguroku đề nghị vào năm 1808. Chúng tôi chọn làm bài toán 14 dưới đây.
Bài Toán 13
Một hôm, Hiroha nói với Yamaguchi là mình không thể giải được bài toán này và nhờ Yamaguchi giúp đỡ. Nhưng Yamaguchi không nhắc tới cách giải bài toán này trong nhật ký của mình, thành ra chúng tôi không có thông tin gì về bài toán.
Tam giác ABC nội tiếp trong hình viên phân ABC của đường tròn bán kính R.
Một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác. Hai đường tròn khác có bán kính s và t, tiếp xúc với đường tròn r cũng như đường tròn bán kính R và dây cung như hình vẽ.
Cho biết m = |t – r|, n
= |t – s|, và p = |r – s|, tìm R theo m, n, và p.
Bài Toán 14
Ukawa Jiroku đề nghị bài toán này vào năm 1808 trên bản sangaku tại đền Takarao.
Cho hình nón đáy bán kính r và chiều cao h đứng vuông góc với mặt phẳng, như hình vẽ. Đỉnh của hình
nón chạm mặt phẳng. Một chuỗi n khối cầu nhỏ bán kính r bao quanh đỉnh hình nón. Tìm n theo R.
Đáp số: Số quả cầu nhỏ
Y20
Ngày 11/7: “Sau nhiều giờ đi bộ, tôi mới đến được Shimane và làm lễ tại đền lớn Izumo Oyashiro là ngôi đền lớn nhất sau ngôi đền ở Ise. Tôi vô cùng xúc động.”
Y21
Ngày 15/7: “Tôi đã đến Tottori và ở lại nhà Kitaro . Tôi gặp hai ông lão say mê học hỏi toán học và thiên văn.
Y22
Ngày 24/7: “Sau khi đến Obama, tôi đến thăm nhà toán học Matsumoto Einosuke, một đệ tử của Kurihara ở Obama.”
Ngày 7/9: Yamaguchi đến thăm đền Tenman ở làng Hirokawa. Tại đó ông nghe có một sangaku được treo tại đó từ năm 1748. Ông ghi lại các bài toán trong nhật ký của mình. Hai bài toán từ bản sangaku này là bài 15 và 16 bên dưới.
Bài Toán 15
Bài toán này ở đền Tennan trong làng Hirokawa do Kashiwano Tsunetada treo năm 1748. Kashiwano đã viết một lời tựa trên mộc bản:
“Toán học có vai trò rất quan trọng trong cuộc sống thường nhật và tôi rất thích học toán.Tôi đã ghi lại ba bài toán tâm đắc của tôi trên mộc bản này và không viết đáp số cho hai bài toán. Tôi rất cảm kích nếu các bạn tham gia giải chúng.”
Vẽ đường tròn bán kính r = 2.4 tiếp xúc với cạnh huyền AB và cạnh góc vuông BC. Từ đỉnh C vẽ tiếp tuyến CP với đường tròn. Biết độ dài CP = 13, tìm CH.
Đáp số: CH = 5.
Ngày 15/9: “Tôi đã đến Hồ Biwako thêm một lần nữa. Trong lúc thăm đền Miidera ở Shiga, tôi ghi chép lại hai bản sangaku như sau: . . .”
Bản sangaku đầu tiên tại đền này do Ogura Yoshisada treo vào năm 1817. Ogura viết trên bản: “Toán học là nguồn cội của mọi vật trong vũ trụ. Đặc biệt, khi chúng ta quan sát thiên văn, toán học là công cụ quan trọng. Tôi được nhận vào trường Seki ngay khi còn trẻ và hăng say nghiên cứu toán học. Giờ đây, tôi muốn treo một bản sangaku chứa những bài toán mới cùng với bài giải. Nếu du khách đến đây và đọc sangaku này, tôi sẽ rất hạnh phúc.”
Yamaguchi cũng tìm thấy một bản sangaku ở đền Shinomiya. Sau đó ông đến thăm Okada Jiuemon, tác giả bản sangaku này, để nói chuyện về toán học.
“Buổi chiều, một người yêu toán học, Asano Masanao, đến quán trọ nơi tôi lưu trú, để trước thăm và sau đó nhờ tôi cho phép y quảng cáo một buổi giảng của tôi về toán học. Tôi nhận lời, vài ngày sau những tấm áp phích đại loại viết “Buổi thuyết trình về toán học do nhà toán học lừng danh Yamaguchi trình bày” đã xuất hiện khắp thị trấn.
Bài Toán 16
Một bài toán số khác từ Kashiwano ở đền Tennan:
I là tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông ABC. Biết BI = 4.03888736 và AI = 3.87886, tìm a, b, và c.
Y23
Ngày 17/9: Yamaguchi thăm đền lớn Kitanotenman ở Kyoto và ghi chép hai bản sangaku. Một bản do Nakamura đề tặng vào năm 1819. Trên bản gỗ là lời tái bút:”Thầy tôi Nakamura Fumitora là nhà toán học rất tiếng tăm. Co rất nhiều người thăm trường Nakamura. Ông năm nay đã sáu mươi. Để tri ân công lao thầy, chúng tôi, con thầy Nakamura Syuhei và học trò thầy Hitomi Masahide, đã quyết định treo một sagaku trong đền này. Chúng tôi đã chọn ra tám bài toán đẹp và ghi chép chúng lên bản gỗ.”
Một trong những bài toán này do samurai Kamiya Norizane đề nghị năm 1819.
Ngày 18/9: Ở đền Hokoji có một tượng Phật lớn. Yamaguchi muốn đến viếng để chiêm ngưỡng nhưng bức tượng đã bị tàn phá.”
Ngày 21/9: “Tại thư phòng của nhà toán học Takeda, tôi trông thấy một bài toán sangaku sẽ được treo trong một tương lai gần đây và một bài toán khác đã được viết trên bản gỗ của đền Tenman do Morikawa Jihei đề nghị. Tôi đã ghi lại chúng trong nhật ký.” Hai bài này đã được chúng tôi ghi lại thành bài toán 17 và 18.
Bài Toán 17
Cho một hình viên phân của đường tròn bán kính R. Vẽ hai đường tròn bán kính nhỏ hơn r bên trong hình viên phân sao cho chúng tiếp xúc nhau; cả hai đều tiếp xúc với dây AB; một đường tròn tiếp xúc với cung AB, đường tròn kia tiếp xúc với tiếp tuyến AP. Biết AB = k và AP = m, tìm r theo k, d, và m.
trong đó
Bài Toán 18
Hai đường tròn bán kính a và b tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với đường thẳng l. Giữa chúng là một hình vuông có cạnh x. Tìm giá trị nhỏ nhất của x theo a và b.
Bản gỗ không chứa lời giải, mà là lời nhắn nhủ của Morikawa, người treo, “Tôi sẽ lấy làm sung sướng nếu có ai giải dùm tôi bài toán này.”
Trong nhật ký của mình, Yamaguchi cũng không đưa ra lời giải. Người viết sách này sẽ rất cảm kích nếu có ai giải được bài toán này giúp Morikawa.
Ngày 24/11: “Cách đây bốn ngày, tôi dừng chân tại nhà Toraya Kyoemon và đến thăm đền Atsuta ở Nagoya. Băng qua con sông lớn Tenryu, tôi đến thành phố Hamamatsu gần đó.Tại đây, tôi đã thăm đền Akiha và ghi lại những bài toán sangaku do Harada đề nghị vào năm 1822.”
Y25
Ngày 29/11: “Tôi đến suối nước khoáng Hakone hôm nay. Tại đây tôi bắt gặp nhiều món quà lưu niệm bằng tre.
Y26
Ngày 1/12, 1822: “Cuối cùng tôi đã về đến ngôi trường của mình ở Edo sau hai năm du hành. Chuyến đi rất thú vị. Sau khi nghỉ ngơi, tôi lại bắt đầu vạch ra kế hoạch cho chuyến đi săn sangaku tiếp theo. Đến đây là kết thúc chuyến du hành thứ ba của tôi.
