Nghiên Cứu Lịch Sử

Fukugawa Hidetoshi

Tony Rothman

Nguyễn Hữu Anh dịch

Bản kẻm 3.1. Hình này đến từ ấn bản 1715 của Jingko-ki nhằm minh họa một bài toán về tập quán sinh đẻ của chuột. Chúng tôi sắp xếp nó làm bài toán 4 trong chương này. (Sưu tầm của Fukagawa Hidetoshi.)

 

Ba: Toán Học và các Nhà Toán Học Nhật Bản ở Thời Kỳ Edo

 

Ngay từ nhỏ tôi đã bỏ hết thì giờ cho việc nghiên cứu toán học và nghiền ngẫm sách vở. Tôi đã đến thăm thầy cũ, cách đây rất xa, và đã kiên trì học tập. Bọn trẻ thời nay chỉ chơi đùa và làm thơ vớ vẩn. Thật đáng trách chúng quá lãng phí thì giờ. Nếu chúng làm thơ và đọc thơ, phải chi trong thơ ấy có toán. Tôi sẽ viết công thức toán bằng thơ.

 

Lời nói đầu của Imamura Tomoaki trong quyển Thơ về Bội Số và Phép Chia 1640, sách cho trẻ em.

 

Trong chương 1 chúng tôi đã tóm tắt kể lại sự hình thành của toán học truyền thống Nhật Bản, wasan, bằng cách nào nó đã trưởng thành với sự xuất hiện của bàn toán ở Nhật Bản và việc ra đời vào năm 1627 cuốn Jingko-ki của Yoshida Mitsuyoshi, và bằng cách nào sự tiến hóa của wasan đã được tạo hình bởi chính sách tự cô lập mình của Tokugawa trong đầu và giữa thế kỷ mười bảy. Ở đó chúng ta đã gặp một số samurai, sau khi nhận được bằng Giáo Viên Toán, đã dạy tại các juku, hay bắt đầu khởi nghiệp tại các lớp tư của mình thành lập tại nhà hay gần đó. Ở đây chúng ta sẽ duyệt qua một số công trình toán học quan trọng hơn của thời kỳ Edo mà những nhà toán học gốc samurai đã sáng tạo ra.

 

Như trong chương trước, chúng tôi sẽ cố gắng truyền đạt phong cách của họ qua các bài toán trong các tác phẩm đó. Các bài toán phần lớn thích hợp với học sinh trung học.

 

Wasan của Thể Kỷ Mười Bảy

 

Yoshida Mitsuyoshi và bộ Jinko-ki

Ta có thể bổ sung thêm một chút về tiểu sử của nhà toán học Nhật Bản đầu tiên có thể nhận diện được, Mori Shigeyoshi, đã trước tác một tập sách nhỏ chỉ cách sử dụng soroban, ngoài ra ông còn có ba học trò, Imamura Tomoaki, Takahara Yoshitane, và Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672), người học trò cuối cùng đã xuất bản Jinko-ki.

Bản kẻm 3.2. Một cảnh đường phố khác trích từ Jingko-ki minh họa lợi ích của việc sử dụng soroban trong việc làm ăn. Ảnh này xuất xứ từ ấn bản giữa 1818 và 1829. (Sưu tầm của Fukagawa Hidetoshi.)

 

Ta biết nhiều hơn về Yoshida. Sinh ra tại Kyoto năm 1598, ông là cháu của thương nhân Suminokura Ryoi (1554-1614), nhờ buôn bán với Trung Quốc và các nước Đông Á khác mà trở thành triệu phú, và nhờ đó Yoshida có phương tiện tiếp xúc với các giáo trình toán học Trung Quốc. Ông học số học với Mori, và từ Suminokura Soan thông thái ông học toán trong cuốn Luận Thuyết của Cheng Da-Wei. Vào cuối đời Yoshida bị mù, chắc chắn là do ông tu chính quá nhiều lần cuốn Jinko-ki, và ông mất ở tuổi bảy mươi lăm.

 

Phần lớn các bài toán trong hơn ba trăm ấn bản của Jinko-ki liên quan đến các tính toán cần thiết trong cuộc sống và buôn bán trao đổi. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số bài toán trong ấn bản 1643 được in vào thuở sinh thời của Yoshida. Trong số 270 bài trong đó, 36 là bài tập về soroban, 28 liên quan đến tỷ lệ trao đổi, và 35 là tính diện tích đất đai. Hầu hết những bài toán này lấy ra từ giáo trình Trung Quốc.

 

Bài Toán 1

Bài này xuất xứ từ Jiu zhang Suanshu của Trung Quốc.

Đây là cánh đồng có hình dạng bánh vòng. Chu vi đường tròn ngoài là 120 ken, chu vi đường tròn trong là 84 ken. Một ngôi nhà nằm ngay trung tâm cánh đồng thành ra ta không thể đo được đường kính, nhưng khoảng cách giữa các đường tròn là 6 ken. Tìm diện tích cánh đồng mà không được dùng π.

Bản kẻm 3.3. Người bán dầu trong bài toán 2 phải đong một lượng dầu mà chỉ dùng hai giá. Từ ấn bản 1643 của Jinko-ki. (Sưu tầm của Fukagawa Hidetoshi)

Bài Toán 2

Trong thời Edo dân chúng dùng dầu colza để đốt đèn. Từ đó có bài toán “phân phát dầu”.

Một người buôn dạo dầu colza, trên đường về nhà, gặp một khách hàng hỏi mua 5 sho dầu. Nhưng người bán dầu chỉ còn 10 sho dầu đựng trong thùng và hai cái giá đong dầu loại 3 và 7 sho. Hỏi người bán dầu phải đong bằng cách nào để được 5 sho dầu cho khách hàng? (1 sho = 1.8 lít)

 

Bài giải gốc: Gọi thùng dầu 10-sho là A, giá dầu 3-sho là B và giá dầu 7-sho là C.

 

Đầu tiên, dùng giá B, múc ra 3 giá dầu trong A rồi đổ đầy giá C. Như vậy A còn 1 sho, C đầy 7 sho, và B còn chứa 2 sho.

 

Sau đó, đổ hết dầu từ giá C vào thùng A. Như vậy có 8 sho trong A, 2 sho trong B và giá C trống.

 

Thứ ba, đổ hết dầu trong B vào C. Giờ thì A chứa 8 sho, 0 sho trong B và 2 sho trong C.

 

Cuối cùng, với giá B đang trống, múc 3 sho từ thùng A đổ vào C. Giờ thì có 5 sho trong A, 5 trong C và người bán có thể thỏa mãn người khách mua dầu.

 

Bài toán phân phát dầu có thể do chính Yoshida nghĩ ra; ít nhất không thấy có trong giáo trình Trung Quốc nào. Bài này cũng liên quan đến bài toán ba-bình ở phương Tây.

 

Bài Toán 3

Yoshida trình bày “Bài Toán Chuột”, như một bài tập dành cho Soroban. Nó có họ hàng với bài toán 4-8 trong chương trước.

Vào ngày đầu năm, một cặp chuột xuất hiện trong một ngôi nhà và đẻ ra 6 chuột đực và 6 chuột cái. Cuối tháng 1 có 14 chuột, 7 đực và 7 cái.

 

Vào ngày đầu tháng 2, mỗi cặp trong số 7 cặp đẻ 6 đực và 6 cái, thành ra vào cuối tháng 2, có 98 con chuột đủ 49 cặp. Từ đó, cứ mỗi cặp chuột lại đẻ thêm sáu cặp mỗi tháng.

 

(1) Tìm số chuột vào cuối tháng 12.

 

(2) Giả sử chiều dài mỗi con chuột là 4 sun, hay 12 cm. Nếu chúng xếp thành một hàng, con này cắn đuôi con đứng trước, tìm chiều của hàng này.

 

Đáp số gốc:

(1) 27.682.57.402.

Ở cuối mỗi tháng, số chuột là:

2×7=14; 2 x 7×7=98; 2×7³ = 686; 2×7⁴ = 4802; 2 x 7⁵ = 33.614; 2×7⁶ = 235.298; 2 x 7⁷ = 1.647.086; 2 x 7⁸ = 11.529.602; 2 x 7⁹ = 80.707.214; 2 x 7¹⁰ = 564.950.498; 2 x 7¹¹ = 3.954.653.486; 2 x 7¹² = 27.682.574.402.

 

Đây là số hạng của một cấp số nhân (xem bài toán 4-8 ở chương 2)

 

(2) Hàng chuột dài 2 x7¹² x 12 cm. Jinko-ki cho biết “Chiều dài cũng bằng chu vi nước Nhật và Trung Hoa. Thật ra, chiều dài gấp bảy lần khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng.” Ước tính thứ hai cũng không xa sự thật là mấy.

 

Imamura Tomoaki (? – 1668)

 

Cuốn Jinko-ki thúc đẩy mọi người quan tâm đến các bài toán giải được bằng tính toán số, trong đó có quy trình tính diện tích các đa giác, thể tích các khối, và đặc biệt phép tính số π. Một nhà toán học tham gia vào việc biên soạn các vấn đề như thế là Imamura Tomaoki ở Osaka. Ta không có thông tin gì về ông trừ ra là một trong “ba đại đệ tử” của Mori Shigeyoshi và trong năm 1639 ông xuất bản Jyugairoku. Năm sau ông in một phiên bản biên tập lại cho trẻ em có tên Inki Sanka, Thơ về Bội số và Phép Chia. Chúng tôi đã lấy một đoạn trong phần nói đầu của quyển sách đặt vào đầu chương này. Ông ta còn nói tiếp, “Nếu đứa trẻ nào đọc bất kỳ bài thơ nào trong sách này và cố gắng tập tính toán bằng soroban thì trải nghiệm đó sẽ hữu ích cho em trong tương lai. Nếu đứa trẻ nào muốn biết cách chứng minh các công thức thì hãy đọc cuốn Jyugairoku.” Trong cuốn Jyugairoku, Imamura xác định căn bậc hai của 152,2756 là 12,34, tính căn bậc ba của 1880, diện tích các đa giác đều với 3, 5, 6, 7, 8, 9, và 10 cạnh và cung cấp nhiều công thức cho thể tích các khối. Đây là một ví dụ về “thơ về diện tích các đa giác đều” lấy từ Inki Sanka.

 

Bài Toán 4

(1) Cho một đa giác đều có cạnh s, chứng tỏ rằng

(a) Diện tích của tam giác đều là cạnh nhân cạnh nhân 0.433.[ nói cách khác, A = 0.433s²].

(b) Diện tích ngũ giác đều là 1.73s²

(c) Diện tích của thất giác đều là 3.64s²

(d) Diện tích của bát giác đều là 4.828s²

(e) Diện tích của cửu giác đều là 6.093s²

 

(2) Chứng tỏ rằng thể tích của hạt sobagara (kiều mạch), có dạng khối tứ diện đều là cạnh x canh x cạnh x 0.11783 (nghĩa là 0.11783s³].

 

Muramatsu Shigekiyo (1608-1695)

 

Mặc dù người Trung Quốc tìm được giá trị của π tốt hơn 3.14 trong thế kỷ thứ sáu, vì một lý do nào đó vào buổi đầu của thời kỳ Edo các nhà toán học Nhật dùng π = 3.16. Chúng tôi tìm thấy giá trị này trong quyển vở lòng Warizansyo in năm 1622 của Mori Shigeyoshi, trong ấn bản đầu tiên của Jinko-ki, cũng như trong Inki Sanka của Imamura. Không ai hiểu tại sao điều này xảy ra. Trong nhiều bài toán truyền thống, đường tròn được xác định bằng đường kính, chứ không phải bán kính, và diện tích là A = (π/4)(đường kính)² thay vì A = πr². Chuyện là 3.16 = 4 x 0.79, thành ra sẽ thuận tiện hơn khi làm tròn π = 3.16 để có A = 0.79 (đường kính)². Nhưng đây chỉ là dự đoán.

 

Trong thời gian π = 3.16, Muramatsu Shigekiyo đã chứng tỏ rằng chu vi của một đa giác đều có 2¹⁵ = 32.768 cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị là P = 3,141592648. Thật ra Muramatsu đã in giá trị ông tìm được đến 22 chữ số trong cuốn Xếp Lớp Toán Học năm 1663, nhưng chỉ đúng đến tám chữ số. Dưới đây chúng tôi trình bày bảng chu vi P(n) của đa giác đều 2ⁿ cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị lấy ra từ tác phẩm trên. Với công thức chu vi P(n) = 2ⁿsin(180/2ⁿ) và một máy tính bỏ túi, đọc giả có thể kiểm tra kết quả này đúng đến tám chữ số.

P(3) = 3,061467458,

P(4) = 3,121445152,

P(5) = 3,136548490,

P(6) = 3,140331156,

P(7) = 3,141272509,

P(8) = 3,141513801,

P(9) = 3,141572940,

P(10) = 3,141587725,

P(11) = 3,141591421,

P(12) = 3,141592345,

P(13) = 3,141592576,

P(14) = 3,141592634,

P(15) = 3.141592648,

 

Với giá trị π = 3,16 được sử dụng rộng rãi, Muramatsu phải can đảm lắm mới dám kết luận π đúng ra là bằng 3.1415926, nhưng rồi ông cũng lùi lại một chút, sau khi so sánh với giá trị của người Trung Hoa, ông chỉ yêu cầu một giá trị π = 3.14. Dù sao đi nữa đó cũng là một bước đi táo bạo, giúp ông có được một người đồng điệu, Isomura Yoshinori.

Bản kẽm 3.4. Giống các nhà toán học khác, Muramatsu (1608-1695) tính xấp xỉ π bằng cách dựng các đa giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị. Hình bên là một bát giác đều, nhưng Muramatsu đã xét đến đa giác 32.768 cạnh và tính π đến 22 chữ số; tuy nhiên chỉ có tám chữ số là đúng.

 

Isomura Yoshinori (1630-1710)

 

Như các nhà toán học đồng thời, kể cả Imamura, Isomura Yoshinori nghiên cứu những bài toán đáp số xấp xỉ. Isomura là một samurai của dòng họ Nihonmatsu ở tỉnh Fukushima. Năm 1661 ông xuất bản Toán Học Thâm Cứu, trong đó ông dùng π = 3.16. Nhưng vào năm 1684 ông tái bản phiên bản thứ hai có chú giải. Sau đó, cảm hứng từ cuốn Jinko-ki, cũng như từ Muramatsu, Isomura dùng đa giác có 2¹⁷ = 131.072 cạnh để tính π = 3,141592653, khẳng định và mở rộng kết quả của người đi trước.

 

Isomura cũng phát triển một cách tiếp cận để tính thể tích của những khối đơn giản bằng cách cắt lớp chúng thành những đĩa tròn, sau đó cộng thể tích các đĩa này. Kết quả là giá trị xấp xỉ, nhưng phép tính tích phân chỉ vừa mới khám phá ở phương Tây và không xuất hiện ở Nhật Bản, và ta không thể hy vọng nhiều hơn. Chúng tôi trích một bài toán không dùng phép vi tích phân từ ấn bản đầu tiên.

 

Bài Toán 5

(1) Tìm thể tích của một tứ diện đều có cạnh bằng 1. [Đây cũng là Bài Toán 4(2), được giải phía dưới]

 

(2) Cho một tam giác đều cạnh bằng 1, như trong hình 3.1, vẽ ba đường đến tâm, dựng ba tam giác bằng nhau, và vẽ những đường tròn nội tiếp. Chứng tỏ rằng đường kính của các đường tròn là 2r ~0.26794.

Hình 3.1.

 

(3) Cho ngũ giác có cạnh bằng 1, như trong hình 3.2, vẽ năm tam giác và năm đường tròn nội tiếp. Chứng tỏ rằng đường kính của chúng là 2r ~ 0.50952.

Hình 3.2

 

Đây là bài giải gốc của phần 1:

Giải (1): Xét khối lập phương trong hình 3.3 với cạnh của tứ diện nội tiếp là bằng 1. Cắt ra bốn hình chóp từ khối lập phương. Bạn có thể thấy là

Hình 3.3

 

Seki Takakazu (1640?-1708)

 

Trình độ của toán học truyền thống rẻ một bước ngoặt rất gắt để tiến lên vào cuối thế kỷ 17, phần lớn nhờ lao động của Seki Takakazu, nhà toán học lừng lẫy nhất nước Nhật. Nhiều câu chuyện được kể về năng lực của Seki, nhưng cũng như trong trường hợp của Gauss, chúng không đáng tin tưởng cho lắm. Phần nhiều công trình của Seki được đệ tử in sau khi ông qua đời và, bởi vì các nhà toán học Nhật theo truyền thống thường chiều theo sư phụ của họ, nên lúc nào cũng khó biết chính xác họ làm được gì và không làm được gì. Ngày sinh và nơi sinh chính xác của Seki vẫn không được biết, nhưng ông là người đồng thời với Newton. Thuộc dòng samurai, ông được gia đình quyền quý Seki Gorozaemon nhận làm con nuôi ngay từ nhỏ nên lấy họ Seki. Sau này, ông làm việc trong ngân khố của dòng họ Koufu, đứng đầu là Ngài Tokugawa Tsunashige. Năm 1704, Seki vào làm trong chính quyền Tokugawa như một samurai mạc phủ và làm thủ quỹ trung cấp trong hai năm. Ông về hưu năm 1706 và mất năm 1708.

Bản kẽm 3.5. Chân dung của nhà toán học vĩ đại nhất nước Nhật, Seki Takakazu từ bản thảo không ghi ngày tháng của cuốn Dòng dõi các Nhà Toán Học.

 

Seki trưởng thành trong thời khắc thuận lợi, chính xác là trong thời Genroku, và có đầy đủ cơ hội để học tập một số giáo trình toán học vừa được xuất bản. Vào năm 1672 khi ở tuổi ba mươi, ông viết một bản thảo “Giải Các Bài Toán Chưa Giải của Sanpo Ketsu Gisho” của Isomura. Hai năm sau, ông cho in cuốn Toán Học Chi Tiết, gồm các bài giải của 15 bài toán chưa giải trong quyển Toán Học Cũ và Mới của Sawaguchi Kazuyuki năm 1671.

 

Toán Học Chi Tiết thật ra là bộ sách duy nhất mà Seki xuất bản trong đời. Khi ông mất, ông để lại 21 bản thảo sách, bao gồm 7 cuốn về thiên văn. Năm 1712 đệ tử của ông Araki Murahide xuất bản 4 cuốn trong công trình của ông đề tựa Katsuyo Sampô (Tuyển Tập các Thành Quả Toán Học Quan Trọng). Chính từ các bộ sách này mà những đóng góp của Seki cho toán học mới được biết đến.

 

Mặc dù tên tuổi của Seki đôi khi được gán cho, với không ít hoài nghi về tính xác thực, việc khám phá ra Enri, định nghĩa tích phân xác định, nhưng việc ông phát triển định lý về định thức trước cả Leibnizt một thập kỷ là điều chắc chắn không cần bàn cãi.

 

Ông cũng khám phá những số được gọi là số Bernouilly trước cả Bernouilly, và phương pháp Horner trước Horner 150 năm, mặc dù ông đi sau người Trung Quốc. Ở đây chúng tôi bắt đầu trình bày một bài toán, Kaifuku Dai noHo, “Định Thức” ra đời từ năm 1683. (Ta không cần hiểu thực ra định thức là gì khi theo dõi bài giải.)

 

Bài Toán 6

(1) Cho hai phương trình ẩn y, ay + b = 0 và cy + d = 0

trong đó các hệ số a, b, c, d có thể là hằng số khác 0 hay bất kỳ hàm số nào theo biến x, khử y và tìm điều kiện giữa a, b, c, và d để được một phương trình theo x mà thôi.

 

(2) Cho ba phương trình ẩn y,

         ay² + by + c = 0   (3.1)

         dy² + ey + f  = 0   (3.2)

         gy² + hy + j  = 0   (3.3)

trong đó a, b, c, d, e, f, g, h, và j là những hàm số theo x, tìm điều kiện giữa a, b, c, d, e, f, g, h, và j để được một phương trình theo x mà thối.

 

Giải:

(1) Ta dễ dàng thấy rằng y = (-b) / a = (- d) / c suy ra điều kiện là ad – bc = 0

 

(2) Nhân (3.1) cho d, và (3.2) cho a, rồi trừ hai phương trình này, ta được:

y = y = (af – dc)/(bd – ae)

Tương tự, nhân (3.2) cho g, và (3.3) cho d, rồi trừ, ta được

y = (dj – fg)/(eg – dh)

Vậy điều kiện là

(af – dc)/(bd – ae) = (dj – fg)/(eg – dh)

hay

aej + bfg + cdh – afhb- bdj – ced = 0

Seki sắp xếp những hệ thức này theo một giản đồ (xem bản kẽm 3.6), mà độc giả quen với đại số tuyến tính có thể nhận ra đó là cách thức dùng định thức hiện đại để viết các hệ số của hệ phương trình (hình 3.4)

[[a, b, e], [d, e, f], [g, h, j]]

Bản kẽm 3.6. Ký hiệu gốc của Seki cho các định thức trong bản thảo 1633 Kaifuku Dai (Viện Hàn Lâm Nhật Bản). Bên cạnh là Hình 3.4. Ký hiệu hiện đại của định thức trong bài tập 6.

Seki, như các người đồng thời, quan tâm sâu xa đến việc xác định số π, nhưng không giống những người khác, ông sáng tạo ra một phương pháp độc đáo. Dựa theo phương pháp của Muramatsu đã nói phần trên, ông tính chu vi của các đa giác đều có 2¹⁵ cạnh, 2¹⁶ cạnh rồi 2¹⁷ cạnh:

P(15) = 3,14159264

P(16) = 3,14159265 và

P(17) = 3,141592653

Rồi thình lình ông tuyên bố

     = 3.14159265359.

 

Nghĩa là π phải bằng chu vi của một đa giác đều có vô số cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị, nhưng có thể tính giá trị này theo P(15), P(16) và P(17) Hơn nữa giá trị này có hơn hai chữ số đúng so với 10 chữ số đúng của P(17). Seki không đưa ra lý giải của mình, nhưng trong trường hợp này ta có thể tái lập lại nó.

 

Cho a = a₁ = P(16) – P(15) và a₂ = P(17) – P(16) . Trong bài toán 4.7 ở chương 2, ta đã đề cập đến chuỗi cấp số nhân, có dạng a + ar + ar² + ar³ +…, trong đó r là tỷ số không đổi giữa các số hạng liên tiếp, mà ta gọi là công bội. Đối với một tổng vô hạn của chuỗi trên, ta có tổng là a/(1 – r).

 

Đặt r = a₂ / a₁  Nếu ta giả sử π có thể tính xấp xỉ bằng tổng của một cấp số nhân, thế thì:

Đó là kết quả của Seki.

 

Giá trị mới của π do Seki tìm ra được đệ tử Takebe Katahiro của ông in lại trong Tetsujutsu Sankei, trong đó trước đây Seki đã cho biết π = 355/113. Về kết quả này, Takebe đã nhận xét, “Ngày trước, thầy tôi Seki Takakazu đã tìm thấy giá trị π = 355/113 bằng phương pháp của riêng mình. Rồi sau đó hai mươi năm, ông nhận ra rằng Tổ Xung Chi đã tìm được kết quả đó trước ông cả ngàn năm. Thật là điều kỳ diệu khi cả hai nhà toán học vĩ đại đã đi đến cùng một kết quả tại hai xứ khác nhau và hai thời điểm cách biệt nhau.”

Bản kẽm 3.7. Một hình vẽ nguyên gốc của Seki vẽ đa giác 15 cạnh trong tác phẩm Katsuyo Sampô của ông.

 

Bài Toán 7

Như đã nói, đối với việc tính giá trị của π Seki quan tâm đến tính chất của đa giác đều n cạnh. Chẳng hạn, trong quyền Kaku Ho (Các Góc trong Đa Giác Đều), trong tập 3 của bộ Katsuyo Sampô, ông tính bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của n-giác đều, với n lên đến 20. Ông tính toán trên những hình vẽ phức tạp (xem bản kẽm 3.7) và không dùng đến hàm số lượng giác, nhưng ta có thể tìm lại kết quả qua những bài toán sau.

 

(1) Cho tam giác đều có cạnh bằng 1, tìm phương trình cho ta bán kính r₃ của đường tròn nội tiếp và R3 của đường tròn ngoại tiếp.

(2) Tương tự với hình vuông cạnh bằng 1, và

(3) ngũ giác đều cạnh bằng 1.

 

Wasan của Thế Kỷ Mười Tám

 

Takebe Katahiro (1664-1739)

 

Trong vòng vài thập kỷ vào thời gian Newton và Lebnitz phát triển phép tính vi tích phân ở trời Tây, các nhà toán học truyền thống Nhật Bản cũng bắt đầu bước chập chững theo chiều hướng đó, nhưng thành tựu còn dang dở và không đầy đủ. Người mà chúng ta biết nhiều nhất trong nỗ lực đầu tiên của mình – và có lẽ là người đóng góp lớn nhất cho những nỗ lực đó là đệ tử ưu tú nhất của Seki, Takebe Katahiro, mà ta vừa gặp ngay phía trên đây. Takebe được Seki thu nhận làm đệ tử khi mới 13 tuổi và đã in được tác phẩm đầu tiên của mình khi vừa 19, cuốn Kenki Sampo (Toán Học Thâm Cứu). Sau đó ông trở thành samurai mạc phủ giống như chức vụ trước đây của thầy mình. Năm 1719, nhà nước ủy nhiệm ông lập bản đồ nước Nhật, nổi tiếng vì khá chi tiết; tuy nhiên ngày nay đã thất lạc. Như đã đề cập, đôi khi người ta vinh danh Seki là người khám phá ra Enri, nhưng nhiều chứng cứ cụ thể cho thấy chính Takebe mới là người khám phá nó.

 

Takebe xuất bản ba cuốn trong lúc sinh thời và để lại mười hai bản thảo. Bản thảo đầu tiên là Taisei Sankei từ 1710, Toán Học Toàn Tập gồm 20 tập. Cuốn khác, từ năm 1722, là Tetsujusu Sankei (Chuỗi số).

Bản kẽm 3.8. Trong cuốn Jingko-ki Bửu Bối của một tác giả nặc danh in năm 1778 có bài toán cân voi như sau: Dắt voi lên một chiếc thuyền rồi đánh dấu mực nước trên mạn thuyền. Sau đó thay voi bằng các tảng đá cho đến khi mực nước dâng ngang vạch đã đánh dấu. (Sưu tầm của Fukagawa Hiedtoshi).

 

Dùng một đa giác 1024 cạnh nội tiếp trong đường tròn, Takebe cho kết quả trong cuốn Taisei Sankei giá trị xấp xỉ

π = 5. 419. 351 /1.725. 033

từ đó ông tính ra π = 3,141592653589815383241944, chú ý là giá trị này lớn hơn giá trị thực của π một số 0. 000000000000022144779300. Đọc giả có thể kiểm tra trên máy tính là 5.419.351/1.725.033 – π = 0.000000000000022144779300394, cho thấy Takebe tính toán chính xác phi thường.

 

Trong cuốn Tetsujutsu Sankei, Takebe tính được π = 3,14159265358979323846264338327950288419712. Trong khi máy tính cho kết quả π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582, nghĩa là Takebe đúng đến 41 chữ số. Phương pháp của Takebe hơi phức tạp, dùng chuỗi vô hạn, vốn không được biết đến trong toán học Trung Quốc và chính ông là người đầu tiên giới thiệu nó.

 

Matsunaga Yoshisuke (1692?-1755)

 

Một khi mà bạn đã c,ó công thức đóng kín cho π chẳng hạn π/4 = tan ^– ¹(1/2) + tan ^{– 1}(1/3) như phương Tây đã tìm được vào đầu thế kỷ mười tám, bạn có thể tính π với bao nhiêu chữ số cũng được cho đến khi nào chán thì thôi. Tuy nhiên, người Nhật không dùng lượng giác và không có những công thức như thế, mặc dù họ có chuỗi số. Cho đến tận đầu thế kỷ 18 các nhà toán học Nhật, cũng như Tây phương, không biết π là một số vô tỉ, và cứ mơ ước sẽ tính được giá trị đúng của số này, tức là tìm được chữ số thập phân cuối cùng, hoặc tại đó các nhóm chữ số tiếp theo có tính tuần hoàn.

 

Một trong người săn lùng ráo riết chữ số của π là Matsunaga Yoshisuke. Tiểu sử của ông  không được biết nhiều. Ông là một samurai của dòng học Iwaki, có trưởng tộc cũng là một nhà toán học, Naito Masaki (1703-1766). Matsunaga viết tất cả 42 bản thảo, tác phẩm chính là Toán Học về những Đường Tròn và Hình Vuông. Trong đó ông tính được π đúng đến 50 chữ số. Trong một bản thảo chưa in, Luận Đề Toán Học về những Đường Tròn và Hình Vuông, ông tính π đúng đến 52 chữ số, là kết quả gần đúng nhất của số π trong toán học truyền thống Nhật Bản. Chúng tôi trích ra một bài toán liên quan đến π giúp ta hiểu đôi chút về phương pháp của Matsunaga.

 

Bài Toán 8

Giả sử 3.1415926 < π < 3.1415927, chứng tỏ rằng ta sẽ được π = 355/113 như Seki đã tìm ra.

 

Matsunaga giải như sau:

Chúng ta có xấp xỉ

Matsunaga cũng trình bày nhiều phương pháp số để dùng với soroban, nói cách khác, các chương trình máy tính. Một số những bài toán này liên quan đến thuật toán Enri.

 

Như ở phương Tây, các nhà toán học Nhật như Seki và Isomura đều quan tâm đến “toán học giải trí” như hình vuông và đường tròn thần bí. Thật ra, người Nhật có lẽ đã tiến xa hơn người phương Tây về phương diện này, họ lập được những hình vuông 20 x 20 ô, không kể còn có các bánh xe thần bí, hoàn tất với đường ngoại luân. Một nhà toán học lao vào những hoạt động loại này là Nakane Genjun, con trai của nhà toán học Kyoto lừng danh, Nakane Genkei (1662-1733), là người đã học toán với thầy Takebe. Ở tuổi 60 năm 1672, Genkei, được xem là một trong những nhà uyên bác nhất ở Nhật, nhận lời mời từ Tokugawa Yoshimune phiên dịch hai bộ sách thiên văn của Trung Quốc. Một thập kỷ sau ông thực hiện một số quan sát mặt trời, mặt trăng và đề tặng công trình của mình, dưới dạng bản thảo, cho Tokugawa Yoshimune. Nakane Genjun học toán với cha mình ở Kyoto, sau đó với Takebe ở Edo. Công trình chính của Genjun là quyền Tuyển Tập những Thành Quả Toán Học Thú Vị, in năm 1743. Quyển sách chứa 69 bài toán trong đó chúng tôi chọn ra hai bài để giải trí, “Cắt Giấy” và “Hình Vuông Thần Bí.”

 

Bài Toán 9

(1) Bạn gấp giấy và/ hay cắt thế nào bằng kéo một mảnh giấy hình chữ nhật bằng hai hình vuông đơn vị sao cho bạn có thể dựng một hình vuông có cạnh bằng √2 ? (Xem hình 3.5.)

(2) Bạn gấp và/hay cắt thế nào một mảnh giấy hình chữ nhật có độ dài cạnh theo tỷ lệ 1:3 sao cho bạn có thể dựng được hình vuông có cạnh bằng √3 ? (Xem hình 3.6.)

(3) Bạn cắt và gấp thế nào một mảnh giấy tạo bởi 5 hình vuông đơn vị sao cho với mỗi trường hợp như trong hình 3.7 bạn có thể dựng được hình vuông có cạnh bằng √5?

Ta giải bài (3) theo hình vẽ dưới, nét vẽ đứt đoạn là nét cắt.

Bài Toán 10

(1) Dùng các số 1, 2, 3 mỗi số ba lần để tạo hình vuông thần bí 3 x 3 sao cho tổng của mỗi hàng, mỗi cột, và mỗi đường chéo đều bằng 6.

 

(2) Dùng các số 1, 2, 3, 4 mỗi số bốn lần để tạo hình vuông thần bí 4 x 4 sao cho tổng của mỗi hàng, mỗi cột, và mỗi đường chéo đều bằng 10.

 

Chúng tôi đưa ra một lời đáp cho phần 2 trong hình 3.8. Những đáp số khác nhờ bạn tìm hộ.

Hình 3.8

 

Ajima Naonobu (1732-1798)

 

Trong suốt thế kỷ 18 các nhà toán học Nhật sáng tác ra những bài toán hình dẫn đến những phương trình bậc cao. Danh tiếng nhất là “Bài toán điện thờ Gion”, đưa đến phương trình bậc 1024. (Xem chương 7). Không có lời giải nào chính xác cho bài toán điện thờ Gion, nhưng như đã đề cập trong chương 1, Ajima Naonobu nổi tiếng khi rút gọn phương trình bậc 1024 xuống còn bậc 10. Ông ghi lại kết quả tính toán của mình trong bản thảo chưa xuất bản vào năm 1774.

 

Bài toán Gion chỉ là một trong nhiều đóng góp của Ajima cho vài ngành toán học, và mặc dù thuở sinh thời ông không xuất bản được gì, ông được coi là nhà toán học kiệt xuất của xứ hoa anh đào trong thế kỷ 18. Sinh năm 1732 trong gia đình thuộc nhánh Edo của dòng học Shinjo, Ajima trở thành samurai khi được 23 tuổi. Ở tuổi 42 ông tấn công vào bài toán điện Gion; ở tuổi 43 ông nhận chức quan hành chánh đầu tỉnh, và mất ở Edo năm 1798.

 

Ngoài giờ làm việc hành chánh, Ajima học toán ở trường Seki vùng Edo và nhận được bằng “Giáo Viên Toán” ở đó..Thường thì công trình của Ajima nổi bật nhờ ở tính độc đáo của nó, và có người nói rằng nếu ông sống ở phương Tây ông có thể đã sánh ngang hàng với Joseph Lagrange, nhà vật lý toán vĩ đại nhất sau Newton. Trong 42 đầu sách ông để lại dưới dạng bản thảo, sau đó được truyền nhau chép tay, Ajima đã tiến gần nhất so với bất kỳ nhà toán học Nhật nào đến một lý thuyết đầy đủ của phép tích phân. Một năm sau khi ông mất, một trong những học trò của ông, Kusaka Makoto (1764-1839) chuẩn bị xuất bản, nhưng không thành, một tuyển tập của thầy lấy tựa Fukyu Sanpo (Tuyệt Phẩm của Toán Học), trong đó có đề cập đến “bài toán Malfatti” sớm hơn ba thập kỷ so với nhà toán học Ý Malfatti.

 

Trong quá trình giải một bài toán phức tạp trong Fukyu Sanpo, Ajima cần phải tìm 10″ với 0 < n < 1. Ông viết, “Tôi đã tìm được một phương pháp mới để tìm những giá trị của 10ⁿ (0 < n < 1) vốn là một bài toán khó.” Chúng tôi trình bày bài tập dưới đây xem như minh họa phương pháp của Ajima.

 

Bài Toán 11

Giải phương trình x¹⁰  – 10 = 0

 

Ajima chứng tỏ rằng nghiệm là 10^0,1 = 1. 258925.

Sau đó ông chứng tỏ là

      x¹⁰  – 10^0.1  = 0

có nghiệm 10^0,01 = 1.023293. Do đó,

(1) Dùng 10^0,1.= 1. 258925, tìm giá trị của 10″ (n = 0.9, 0.8, 0.7 ,…,0.2) đúng đến bảy chữ số.

 

(2) Dùng 10^0,01 = 1.023293, tìm những giá trị của 10ⁿ ( n = 0.09, 0.08, 0.07 ,…, 0.02) đúng đến bảy chữ số.

 

(3) Từ (1) và (2), tìm 10^2,56. đúng đến bảy chữ số.

 

Fujita Sadasuke (1734-1807) và Fujita Kagen (1772-1828)

 

Phần lớn quyển sách này dành để nói về những bài toán mộc bản (sangaku), và tuyển tập như thế sẽ không thực hiện được nếu không có công lao của cha con nhà Fujita, đã nhắc đến ngắn gọn trong Chương 1. Người cha, Sadasuke, sinh năm 1734 ở Saitama và học ở trường của Seki. Trong năm 1762 ông được chính quyền Tokugawa chỉ định làm nhà phụ tá thiên văn, nhưng do mắt yếu – một bệnh thường gặp ở những nhà toán học – ông từ nhiệm sau năm năm. Năm 1768, ông trở thành nhà toán học chính thức cho dòng họ Kurume, mà trưởng tộc cũng là nhà toán học tiếng tăm, Ajima Yoriyuki (1714-1783), người đã xuất bản Các Viên Ngọc Bích của Toán Học (1769). Khoảng năm 1780 Fujita trở thành người kế nghiệp thứ tư của Seki làm hiệu trưởng trường Seki.

 

Sadasuke được nhớ đến nhiều nhất qua tác phẩm Toán Học Chi Tiết, nhưng ông cũng giúp con trai mình Kagen xuất bản tuyển tập đầu tiên các bài toán sangaku tựa đề Toán Thiêng, trong năm 1789. Chúng tôi sẽ nói chi tiết về quyển sách này trong chương 4 và, trong truyền thống tôn kính, sẽ lấy ra một số bài tập từ tuyển tập này. Kagen, sau này cũng làm việc cho dòng họ Karume như cha mình, tiếp tục cho xuất bản một ấn bản thứ hai của Toán Thiêng vào năm 1807.

 

Chúng tôi trình bày một bài toán từ Toán Thiêng ấn bản đầu tiên.

 

Bài Toán 13

(1) Như hình 3.9 cho thấy, hai đường tròn có bán kính a và b tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với đường thẳng l tại điểm D và E, theo thứ tự. Chứng tỏ rằng DE² = 4ab

 

(2) Ba số nguyên dương (p, q, r) được gọi là bộ ba Pitago nếu p² + q² = r² , nói cách khác, nếu bạn có thể liên kết chúng với ba cạnh của một tam giác vuông. Nếu bộ ba Pitago (p, q, r) có p và q là hai số nguyên tố cùng nhau, nghĩa là không có ước số chung nào khác hơn 1, thì (p, q, r) gọi là bộ ba Pitago nguyên thủy. Chứng tỏ rằng (p, q, r) là một bộ ba Pitago nguyên thủy nếu

   p = 2mn,

    r = m²+ n²,

   q = m² –  n²

với mọi số nguyên m, n sao cho m > n > 0 (m và n không cùng lẻ).

 

(3) Tìm 5 bộ ba Pitago nguyên thủy với r <= 41

 

Giải:

(1) Vẽ những đường phụ như trong hình 3.10. Rồi dùng định lý Pitago để được

      (a+b)² = (b – a)² + DE²

Suy ra  DE² = 4ab

(Kết quả này sẽ được dùng nhiều trong các bài toán sau này.)

 

(2) Giả sử trong bài toán trên ta muốn DE = AC là một số nguyên.

Vì DE = √ab, điều kiện đủ là √a = n và √b = m, trong đó m, n đều nguyên.

Suy ra a = n² và y = m².

  Ta có một bộ ba Pitago là:

   BC = b – a = m² – n²

   AC = 2mn và

    AB = b + a = m²  + n² .

Để là một bộ ba Pitago nguyên thủy, m và n phải không có ước số chung.

Đây là phương pháp đơn giản nhất trong toán học truyền thống Nhật Bản để tìm điều kiện cho một bộ ba Pitago nguyên thủy.

 

(3) Trong Toán Học Chi Tiết Sasuke cho tất cả bộ ba Pitago nguyên thủy (p, q, r) với 0 < r < 1000. Với r < 45 chúng là (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (20, 21, 29), và (9, 40, 41).

 

Wasan của Thế Kỷ Mười Chín

 

Aida Yasuaki (1747-1817)

 

Đối với sangaku chúng ta mắc nợ những học trò và những người theo gót nhà hình học Aida Yasuaki, một cư dân ở tỉnh Yamagata đông bắc nước Nhật. Sinh năm 1747, đến 16 tuổi Aida đăng kí ở trường Okazaki gần nhà để học toán. Năm 23 tuổi, ông đến Edo làm việc trong ban xây dựng cầu đường. Ông hình như chuyên tâm vào nghề nghiệp này, rõ ràng không thiết gì đến toán học, cho đến khi 35 tuổi, ông mới bắt đầu treo một sangaku ở điện thờ Atago. Một nhân viên khác cũng thuộc đội xây dựng cầu đường hóa ra là một học trò của Fujita Sadasuke, nhờ đó y mới giới thiệu Aida cho thầy mình, khi đó là hiệu trưởng của trường Seki. Với cung cách thân mật Fujita khuyên Aida sửa chữa một lỗi trên một mộc bản mà ông đã treo lên.

 

Nhưng Aida lại thấy bị xúc phạm bởi lời khuyên thân tình này của Fujita và lập ra một trường dạy toán, có tên Trường Dạy Toán Tốt Nhất, để cạnh tranh với trường Seki. Mối hiềm khích hai bên kéo dài, nhưng khả năng toán học của Aida thì không cần bàn cãi. Ông say mê điên cuồng toán học, viết đến 1300 đầu sách, trong đó chỉ có 11 cuốn là xuất bản, 1289 cuốn chưa in còn lại thật ra chỉ là những tập sách nhỏ, mỗi tập chỉ khoảng hai mươi trang.

 

Aida rất sắc sảo về hình học. Cuốn Hình Học Đại Số của ông gồm 195 tập, không nghi ngờ gì nữa là giáo trình toán dài nhất trong lịch sử, trong khi cuốn Các Phương Pháp Tổng Quát của Hình Học gồm sáu lăm tập. Có lẽ đóng góp chính của Aida là Trường Dạy Toán Tốt Nhất nơi đã sản sinh ra nhiều nhà toán học ở miền đông bắc nước Nhật, với kết quả là nhiều sangaku còn sót lại đến hôm nay có xuất xứ từ miền đó. Vì độc giả sẽ gặp một số sangaku từ trường của Aida đây đó trong sách (đặc biệt ở chương 4, bài 37, và chương 5, bài 21), nên chúng tôi không trình bài nào ở đây.

 

Các Nhà Toán Học Khác của Cuối Thời Kỳ Edo

 

Nhiều nhà toán học Nhật đã đóng góp trong quá trình phát triển của wasan, không tiện kể tên ra hết. Với Toán Thiêng, một trong số những người quan trọng nhất là Yamaguchi Kanzan, sống lang bạt như một cái bóng. Ông sinh tại Suibara, tỉnh Niigata khoảng 1781, ông học toán ở Edo và mất năm 1850. Di sản lớn nhất của ông là cuốn nhật ký du hành, kết quả của sáu chuyến đi bộ khắp nước Nhật để sưu tầm các bài toán sangaku. Tất cả đã bị thất lạc chỉ còn lại hai mộc bản. Chương 7 dành trích đăng một đoạn khá dài trong nhật ký của ông, bao gồm những bài toán.

 

Cũng quan trọng đối với chúng ta là Yoshida Tameyuki (1819-1892) là một samurai của dòng họ Owari ở Nagoya. Ysoshida theo đuổi việc học tập với nhiều thầy và để lại nhiều bản thảo chứa các bài giải những bài toán hình ở điện thờ. Các bài giải của ông quý giá ở chỗ giản dị, rõ ràng và đẹp đẽ, chúng tôi trình bày một số bài rải rác trong các chương. Fukagawa Hidetoshi, đồng tác giả của quyển sách này, đã cố công tìm nhà cũ của Yoshida nhưng thất bại.

 

Một gương mặt cũng khá quan trọng là Uchida Kyo (1805-1882), một thần đồng toán học vào học ở một trong các trường của học trò Seki lúc 11 tuổi và nhận được bằng dạy toán ở tuổi 18. Ông biết tiếng Hà Lan và khi ông bắt đầu mở trường cho riêng mình, ông đặt tên trường là “Mathematica”. Công trình của Uchida bao quát nhiều lĩnh vực, bao gồm không chỉ toán học mà còn thiên văn, địa lý, và đo đạc. Là một thầy giáo tiếng tăm, ông thu hút học viên từ mọi miền đất nước. Năm 1879, ông trở thành một thành viên của Viện Hàn Lâm Tokyo dưới triều đại Minh Trị. Một trong những tác phẩm chủ yếu của ông là Kokon Sankan in năm 1832 (Toán Học Xưa và Nay), đáng chú ý vì có đề cập đến định lý hexlet nổi tiếng của Soddy năm 1937, một bài toán được ghi lại trên sanguku năm 1822 (xem bài toán 16, chương 6).

 

Vài nhà toán học khác của thế kỷ 19 đóng góp cho sự phát triển sâu hơn của Enri , bao gồm Wada Yasushi (1787-1840) và Uchida Kyumei (?-1868), nhưng vì phần lớn đóng góp của họ chỉ tập trung vào lĩnh vực tích phân, nên chúng tôi tạm gác việc giới thiệu công trình của họ đến chương 9. Chúng tôi kết thúc chương này bằng một bài toán sơ cấp của Chiba Tanehide (1775-1849), sinh trong một gia đình nông dân nhưng về sau học toán ở trường Hasegawa Hiroshi ở Edo. Ở tuổi 53, Chiba trở thành samurai của dòng họ Ichinoseki tỉnh Iwate. Khi tác phẩm Toán Học Mới của ông xuất hiện vào năm 1830, nó trở nên một trong những giáo trình toán bán chạy nhất. Nó chứa hầu hết mọi kiến thức toán học truyền thống Nhật, kể cả thuật toán Enri và bài tập này, mà lời giải của nó rất hữu ích cho các phần tiếp sau.

Từ hình 3.11, chứng tỏ định lý Pitago trong tam giác vuông ABC.

 

Giải: Diện tích hình vuông vẽ bằng nét đứt đoạn là c². Mặt khác nó cũng bằng tổng 4 diện tích tam giác vuông ban đầu (4 × ab/2 = 2ab với hình vuông nhỏ cạnh là (a – b). Như vậy:

          c²  = 2ab + (a – b)²

Hay : c²  = a² + b²