Fukugawa Hidetoshi
Tony Rothman
Nguyễn Hữu Anh dịch
Bốn : Các Bài Toán Hình Học ở Điện Thờ
Khổng Tử nói, “Thời trẻ, ta say mê học đạo không ngừng nghỉ, ngày quên ăn, đêm quên ngủ.” Những lời vàng ngọc của Khổng Phu Tử thật là quý giá đối với chúng tôi. Ngay từ nhỏ, tôi đã học toán và đọc nhiều sách về toán học. Khi thắc mắc về vấn đề gì, tội liền đến thăm và hỏi nhà toán học Ono Eiyu. Tôi trân trọng lời dạy của thầy.
Để tri ân lòng tốt của thầy, tôi sẽ treo một sangaku trong đền này.
– Những lời ghi chép trên một bản sangaku được Saito Kuninori treo ở đền Kitamuki Kannon vào năm 1828
Các bài toán hình ở điện thờ, đến nay mới rõ, không chỉ được tìm thấy ở đền mà thôi. Trong thời kỳ Edo, mười hai tuyền tập các bài toán sangaku xuất hiện trong sách in và hàng trăm các bài toán khác được ghi chép trong các trang bản thảo chưa xuất bản. Còn nữa, một số kẻ sùng bái trân tráo treo những sangaku mà những bài toán đó được xoáy từ các tuyển tập in đâu đó. Không có mộc bản nào cũng như không có nhiều giáo trình được xem là đúng nghĩa giáo trình theo tiêu chuẩn hiện đại; chúng trình bày toán học truyền thống Nhật Bản không chút nào mạch lạc hay hệ thống. Chỉ trên một mộc bản sangaku, bạn có thể bắt gặp một bài toán mà một bé 12 tuổi có thể giải được bên cạnh một bài toán khiến sinh viên đã tốt nghiệp phải “đứng hình”. Một phần là vì sangaku thường được làm bởi một nhóm bạn, có khi nguyên một lớp tại một trường tư, và chắc chắn các học viên có nhiều trình độ khác nhau.
Tình trạng này khiến việc chọn ra và trình bày các bài toán sangaku đôi khi là một thử thách. Chúng tôi đã chọn sắp xếp các bài toán ít nhiều dựa theo độ khó hơn là xuất xứ, và bất cứ khi nào có thể, sẽ nhóm các bài toán tương tự vào nhau. Ngoài ra, những bài tập này không phải là những “bộ đề” do một giảng sư phát triển nhằm một mục đích giảng dạy một chủ đề nào đó, mà phần lớn chỉ là những thành quả ngẫu hứng của một kẻ đam mê giải được những câu đố hình học làm họ vui thích.
Trong chương 4 chúng tôi sẽ tuyển chọn bài toán sangaku ở đền chùa xếp từ tầm thường đến mức hầu như bất khả thi. Trong những tuyển tập các sangaku, tuyền tập đầu tiên và chắc chắn là quan trọng nhất là tuyển tập của Fujita Kagen. Tác phẩm của Kagen, cuốn Toán Thiêng, ra mắt vào năm 1789 và chứa những bài toán từ 26 mộc bản treo giữa những năm 1767 và 1789. Trong lần tái bản thứ hai năm 1796, Fujita thêm các bài tập từ 22 mộc bản treo giữa những năm 1790 và 1796. Những đền thờ treo những mộc bản này tọa lạc trên một vùng rộng lớn của nước Nhật, kết quả là tên tuổi của Fujita cũng được nhiều người biết đến. Trong tập tiếp nối năm 1807, Fujita lại ghi chép 50 mộc bản treo từ năm 1796 đến 1806. Trong số 48 sangaku được sử dụng đến trong cuốn thứ nhất, tất cả đã bị tàn phá hay thất lạc, chỉ trừ một sangaku từ đền Sakurai ở tỉnh Aichi. Trong số50 sangaku ghi lại trong cuốn thứ hai, chỉ có một bản treo trong đền Isaniha ở tỉnh Ehime là còn sống sót.
Xét những tuyển tập còn lại, mặc dù có một quyển xuất hiện trong năm 1873, kể từ sau khi triều đại Tokugawa sụp đổ, mọi bài toán đều có từ thời kỳ Edo đầu, trước khi ảnh hưởng của phương Tây bắt đầu bén rễ. Chúng tôi cũng chọn một số bài toán từ những bản thảo chưa in. Với mỗi bài toán và bài giải, chúng tôi đề tên tác giả-nếu tên này còn lưu lại-cùng xuất xứ, mộc bản, sách hay bản thảo. Các sách, theo tinh thần Genroku, đều được in trên giấy nếp bằng khối gỗ, và tự nó đã là những công trình nghệ thuật. Phần lớn bài toán đều quý hiếm và cách giải nguyên gốc, nếu có, được chúng tôi trình bày thường thường chưa bao giờ được nhìn thấy ở trời Tây.
Chúng tôi tin rằng đa số đều thích hợp với học sinh trung học. Những bài tập đầu tương đối dễ, chúng có tác dụng hâm nóng trước khi đối mặt với những bài hóc búa hơn ở phần cuối, nhưng dù thách thức chúng cũng sử dụng cùng những kỹ thuật cơ bản được tìm thấy trong mọi giáo trình hình học, Đông cũng như Tây.
Trong một số bài tập, độc giả có thể đôi khi thắc mắc không biết những con số cho trước tại sao có vẻ kỳ lạ như vậy: ”Biết 2r = 35.5, hãy tìm a.” “Biết d = 3.62438 và 2t = 0.34, hãy tìm 2r.” Nhiều người làm sangaku chọn những con số cho trước hơi kỳ cục đơn giản chỉ vì họ muốn đáp số cuối cùng là những số dễ coi.
Vì đây là lược khảo về toán học Nhật Bản, nhất là tìm hiểu về truyền thống sangaku, chứ không phải là một tuyển tập toán sangaku, nên chúng tôi chỉ trưng ra một vài bài toán để độc giả tham khảo.
Bài Toán 1
Bài toán này lấy từ bản thảo chưa in của cuốn “Tuyển Tập các Sangaku ở trường Aida”, do Aida Yasuaki (1747-1817) soạn. Trước bài toán đã được Kobata Atsukuni, một học viên của trường, đề nghị từ năm 1800, và được treo tại đền Kanzeondo, Toba.
Một đường tròn lớn đường kính 2R = 100 ngoại tiếp một tam giác đều lớn và chứa một tam giác đều nhỏ như trong hình 1. Tìm cạnh q (theo R) của tam giác đều nhỏ ABC biết A là trung điểm một cạnh của tam giác đều lớn.
Hình 1
Bài Toán 2
Bài toán này là bài toán thứ hai kể từ góc trái trên của sangaku treo tại điện Katayamahiko.
Hai đường tròn bán kính r tiếp xúc với đường l. Như hình 2 cho thấy, một hình vuông có cạnh t tiếp xúc với cả hai đường tròn. Tìm t theo r.
Hình 2
Bài Toán 3
Bài toán này là bài toán thứ tư từ góc trên phải qua trên sangaku của điện thờ Katayamahiko.
Trên một mảnh ruộng hình tròn đường kính 2r = 100 m, ta làm bốn đường có độ dài t sao cho chúng chia mảnh ruộng thành 5 phần có diện tích bằng nhau, trong 5 phần có một phần hình vuông (xem hình 3). Tính t và d, dùng π = 3.16.
Hình 3
Bài Toán 4
Bài toán này xuất xứ từ mộc bản do Takeda Sadatada treo ở điện thờ Atago, Tokyo năm 1930. Chúng tôi biết được nó qua cuốn “Toán Học, Xưa và Nay: của Uchida (1805-1882). Trong tác phẩm này Uchida ghi lại các bài toán từ 23 mộc bản treo giữa các năm 1820-1830. Các bài toán ở đây thường khó; nhưng bài này thì không quá khó.
Hai hình vuông cạnh b và d chạm nhau tại một đỉnh, như trong hình 4. Mỗi hình vuông b và d cũng chạm hai hình vuông khác có cạnh a và c. Tính d theo a, b, và c.
Đáp số;
Hình 4
Mộc bản sangaku có chứa bài toán trên
Bài Toán 5
Bài toán này có từ năm 1805 đến từ sangaku treo ở điện thờ Suwa và đã được nhắc tới trong nhật ký của Yamaguchi Kanzan (chương 5).
Cho hình chữ nhật ABCD như trong hình 5 với AB > BC. Một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh hình chữ nhật AB, AD, và DC. Đường chéo BD cắt đường tròn tại P và Q.
Tìm PQ theo AB và BC.
Đáp số: PQ
Hình 5
Bài Toán 6
Bài toán này được treo năm 1909 ở đền Tozoji của thành phố Kakuda, tỉnh Miyagi. Tác giả là Kojima Yokichi. Mộc bản có kích thước 72 cm x 162 cm.
Một tam giác vuông ABC có AB = x và BC = c. Dựng hình vuông cạnh AB, AC cắt cạnh hình vuông tại điểm t. (Xem hình 6). Giả sử x thay đổi, tìm giá trị của x theo c sao cho phần được tô xám của tam giác có diện tích lớn nhất.
Đáp số: x = c/3
Bài toán 7
Ba hình vuông cạnh a, c và d chạm vào đường thẳng l, và mỗi hình có một đỉnh
chung với một hình vuông cạnh b, như trong hình 7. Chứng minh b = 2d.
Hình 7
Bản gỗ sangaku có chứa bài toán 7.
Bài Toán 8
Bài toán này là bài toán thứ năm từ góc phải trên của sangaku tại đền Katayamahiko.
Một dãy các đường tròn bán kính r1, r2, r3, và r4 nội tiếp trong tam giác vuông ABC như trong hình 8. Giữa các đường tròn bán kính rn là ba đường tròn nhỏ hơn, t1, t2, và t3, mỗi đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn lớn hơn và tiếp xúc với BC. Chứng tỏ rằng t1 t3 = t22.
Bài Toán 9
Nakazawa Yasumitsu đề nghị bài toán này, là bài toán thứ bốn từ phải qua trên sangaku của đền Mizuno.
Cho tam giác vuông ABC (xem hình 9), vẽ các đường AD và BE từ các đỉnh A và B sao cho hai đường tròn bán kính r có thể nội tiếp trong các hình được tạo thành.
Tìm bán kính r theo ba cạnh a, b và c.
Hình 9
Đáp số:
Bài Toán 10
Bài này do Maruyama Ryoukan đề nghị năm 1800, treo ở đền Sannosha ở thị trấn Tsuruoka của tỉnh Yamagata và sau đó được ghi lại trong sách 1807 của Fujita Kagen.
Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn như trong hình 10. Gọi rA, rB, rC và rD lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp trong các tam giác DAB, ABC, BCD, và CDA.
CMR : rA + rC = rB + rD.
Hình 10
Bài Toán 11
Bài toán này đầu tiên được Sugita Naotake đề nghị trên một bản gỗ treo ở đền Izanagi ở tỉnh Mie năm 1835. Chúng tôi lấy nó từ quyển Toán Học Súc Tích của Shino Chigyo xuất bản năm 1837. Trong cuốn này, Shino sưu tầm những bài toán trong 12 bản gỗ treo giữa các năm 1832 và 1836. Tất cả đều bị thất lạc.
Như hình 11 chỉ rõ, trong tam giác ABC, các đoạn AE, BF, và CG đồng quy tại điểm P bên trong tam giác. Gọi
Ký hiệu delta chỉ diện tích.
CMR diện tích S của tam giác ABC là
Hình 11
Một sangaku chứa bài toán 11
Bài Toán 12
Do Shichi Takatada đề nghị, là bài toán thứ hai từ trái qua trên bản gỗ Meiseirinji, khiến ta nhớ đến bài toán Malfatti ở trời Tây. Cẩn thận: Đây là bài toán dài, nhưng cách giải thì không phức tạp.
Xem hình 12. Cho r1, r2 và r3 là bán kính của ba đường tròn tiếp xúc ngoài nhau. Dựng tam giác ngoại tiếp ba đường tròn và tìm bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác theo r1, r2 và r3 .
Hình 12
Đáp số:
Bài Toán 13
Bài này trong sách Thưởng ngoạn Toán Học Bản Gỗ của Baba Seitoku in năm Trong sách này, Baba ghi lại ba mươi sáu bài toán trong bản gỗ treo ở các đền ở Tokyo. Nguyên bản là do Ishikawa Nagamasa đề nghị trong bản gỗ treo trong đền Gyuto Tennosha ở Tokyo năm 1798.
Trong hình 13 là 30 hình cầu bán kính r che phủ một quả cầu lớn bán kính R, sao cho mỗi quả cầu nhỏ tiếp xúc với bốn quả cầu nhỏ khác. Tìm R theo r.
Hình 13
Sangaku của bài toán 13
Bài toán 14
Bài này được viết năm 1822 trên bản gỗ ở tỉnh Iwate. Bản gỗ này giờ đã thất lạc.
Trên elip trong hình 14, lấy ba điểm A, B, và C sao cho diện tích các hình viên phân có diện tích S1, S2, và S3 bằng nhau. Chứng tỏ diện tích tam giác ABC bằng trong đó a, b là nửa độ dài hai trục của elip.
Gợi ý: Truyền thống hình học Nhật Bản xem elip là thiết diện có được khi cắt một hình trụ tròn xoay. Ngược lại, họ có thể xem đường tròn là hình chiếu của một elip lên đáy của hình trụ. Do đó, như trong hình, ta có thể tưởng tượng tam giác ABC được chiếu cùng với elip, góc là arccos(b/a).
Nghiên Cứu Lịch Sử 