Nghiên Cứu Lịch Sử

Chuỗi Số Lũy Thừa

 Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

Các học sinh trung học đã từng gặp cấp số cộng và nhân trong giáo trình giải tích lớp 11. Hai dãy số này là các dãy số cơ bản và quan trọng trong một khái niệm tổng quát hơn gọi là dãy số, và tổng các số hạng của dãy gọi là chuỗi số. Chúng ta hãy giải thích rõ hơn về những kháo niệm này. Ví dụ: dãy số 1, 4, 9, 16, 25

và dãy số

1, – x , x²/2 , – x³/3, x⁴/4, – x⁵/5

là những dãy số, trong khi đó

1 + 4 + 9 + 16 + 25

và

1 – x + x²/2 – x³/3 + x⁴/4 – x⁵/5

là những chuỗi số liên kết với dãy số.

Số hạng tổng quát, hay số hạng thứ n, của một dãy số hoặc một chuỗi số là một biểu thức theo n, cho biết công thức xác định số hạng đó. Như trong ví dụ trên, số hạng tổng quát của dãy số đầu là n², của dãy số thứ hai là (- x)^{n – 1}/(n – 1), trừ số hạng đầu tiên.

Khi số các số hạng của dãy số có giới hạn, ta bảo dãy số hoặc chuỗi số là hữu hạn, ngược lại ta có dãy số hay chuỗi số là vô hạn. Các ví dụ trên là các dãy số và chuỗi số hữu hạn. Nếu  một dãy số hay chuỗi số vô hạn, ta kí hiệu bằng cách liệt kê vài số hạng đầu, số hạng tổng quát và các chấm, như sau:

1, 4, 9, . . ., n²,. . .

và

1 + 4 + 9 + . . . + n² + . . .

Cho một chuỗi số bất kì, kí hiệu u₁ + u₂ + u₃ + . . .+ u_n + . . . ,

Ta bảo chuỗi số hội tụ nếu:

lim (u₁ + u₂ + u₃ + . . .+ u_n)

n → ∞

tồn tại và hữu hạn; ngược lại ta nói chuỗi số phân kì. Trong trường hợp trước, nếu giới hạn là S, ta nói S là tổng của chuỗi số vô hạn, và kí hiệu:

S = u₁ + u₂ + u₃ + . . .+ u_n + . . .

Học sinh trung học chắc chắn không quên cấp số cộng là dãy số có dạng: a, a + d, a + 2d, . . .. [a + (n – 1)d],  . . .

trong đó a và d là hằng số, và cấp số nhân là dãy số có dạng a, ar, ar², . . ., ar^{n – 1}, . . .

trong đó a và r là hằng số.

Đây là những dãy số xưa nhất, đã được các nhà tóan học Ai cập và Babylon thời cổ biết đến, khoảng hai ngàn năm trước Công Nguyên. Tuy nhiên, người đầu tiên tính được tổng các chuỗi số vô hạn hội tụ chính là Archimedes, trong luận thuyết Quadrature of the Parabola (Phép Cầu Phương Parabol) của ông, ông đã chứng tỏ rằng chuỗi số nhân:

1 + 1/4 +1/4² + 1/4³ + . . . + 1/4^{n – 1} + . . . bằng 4/3. Dừng lại một chút để xem chuỗi số này xuất hiện như thế nào trong công trình của Archimedes cũng là điều thú vị.

Gọi AB là một dây cung parabol trong hình bên. Từ các trung điểm L, M, N của AB, AC và BC, kẻ các đường song song với trục của parabol, chúng cắt cung parabol tại C, D và E. Từ định nghĩa hình học của parabol, Archimedes chứng tỏ rằng

∆CDA + ∆CEB = ∆ACB/4 (Kí hiệu ∆ chỉ diện tích tam giác)

Bằng cách lập lại tiến trình này cho các dây vừa xuất hiện là AD, DC, CE, EB, ta suy ra rằng diện tích của phần parabol giới hạn bởi dây AB là tổng vô hạn :

∆ABC + ∆ABC/4 + ∆ABC/4² + . . . + ∆ABC/4^{n – 1} + . . ..

=  ∆ABC(1 + 1/4 + 1/4² + . . . + 1/4^{n – 1} +      )

=  4/3. ∆ABC

Mặc dù Archimedes là người đầu tiên tính tổng của một chuỗi số vô hạn đặc biệt, nhưng người đầu tiên đã nghiên cứu đầy đủ khái niệm hội tụ của chuỗi số vô hạn chính là nhà toán học lừng lẫy người Đức là Carl Friedrich Gauss (1777-1855), trong công trình về chuỗi số hypergeometric vào năm 1812.

Công trình tiên phong này của Archimedes và Gauss chắc chắn là những trang sử quan trọng trong toán học, tuy nhiên còn hai sự kiện nổi bật khác cần phải được tôn vinh. Sự kiện thứ nhất là công trình của Brook Taylor trong năm 1715, cùng với Colin Mac Laurin năm 1742 nghiên cứu về chuỗi số lũy thừa, là chủ đề mà bài viết này đang đề cập. Sự kiện thứ hai liên quan đến công trình của Joseph Fourier năm 1807-1822 về chuỗi số lượng giác sẽ được trình bày trong bài sau.

Một chuỗi số vô hạn có dạng a₀ + a₁x + a₂x² + . . .+ a_n-1x^{n – 1} + . . .

(n nguyên dương) với biến x và các hệ số a_i , được gọi là chuỗi số lũy thừa theo x. Số hạng tổng quát của nó chính là đa thức.

Tổng quát hơn, một chuỗi số có dạng a₀ + a₁(x – a) + a₂(x – a)² + . . .+ a_n-1(x- a)^{n – 1} + . . .

gọi là chuỗi số lũy thừa theo x- a.

Nếu trong chuỗi số lũy thừa theo x ở trên, ta gán cho x một giá trị đặc biệt nào đó, ta được một chuỗi số các số hạng là hằng số, chúng có thể hội tụ hay không. Hiển nhiên chuỗi số hội tụ khi x = 0. Nó có thể hội tụ với các giá trị khác của x hoặc có thể không hội tụ với giá trị nào khác của x, thậm chí có thể hội tụ với mọi giá trị của x. Trong giải tích, ta được biết rằng nếu chuỗi số hội tụ khi x = b ( b hằng số dương) thì nó cũng hội tụ với mọi x thỏa |x| < b , và nếu nó phân kì khi x = b thì nó cũng sẽ phân kì với mọi x thỏa |x| > b. Suy ra rằng tập hợp những giá trị của x sao cho chuỗi số hội tụ tạo thành một khoảng có dạng – b < x < b, có thể thêm một hay hai đầu mút. Khoảng (- b , b) [hay (– oo,    +oo) nếu chuỗi số hội tụ với mọi x ] được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi số lũy thừa, có tâm là 0. Tương tự, chuỗi số lũy thừa theo x – a có khoảng hội tụ dạng (a – b, a + b), có tâm là a.

Một chuỗi số lũy thừa theo x hiển nhiên là một hàm số theo x với mọi x thuộc khoảng hội tụ. Do đó ta có thể viết         f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + . . .+ a_n-1x^{n – 1} +  . . .

Khi một hàm số nào đó được viết dưới dạng của một chuỗi số lũy thừa theo x, ta nói hàm số đó được khai triển theo chuỗi số lũy thừa của x. Ví dụ, trong cấp số nhân, ta chứng minh được là :

1 + x + x² + . . . + x^{n – 1}

hội tụ về 1/(1 – x) với mọi x thuộc khoảng ( – 1, 1). Do đó:

Nếu một hàm số cho trước được biểu diễn bằng chuỗi số lũy thừa, ta tự hỏi các hệ số a_i sẽ như thế nào. Để trả lời câu hỏi này, ta tiến hành như sau.

Trong đẳng thức

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + . . .+ a_n-1x^{n – 1} + . . . (*)

Cho x = 0, ta được : f(0) = a₀.

Giả sử chuỗi số đạo hàm được đến bậc vô hạn, thế thì:

f ’(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + . . .+ (n – 1)a_n-1x^{n – 2} + . . .

f ’’(x) = 2a₂ + 6a₃x + . . .+ (n – 1)(n – 2)a_n-1x^{n – 3} + . . .

f ’’’(x) = 6a₂ + . . .+ (n – 1)(n – 2)(n – 3)a_n-1x^{n – 4} + . . .

và cứ thế.

Bằng cách cho x = 0 vào các đẳng thức này, ta được :

f ’(0) = a₁ , f ”(0) = 2!a₂ , f ’’’(0) = 3!a₃ , . . .. , f^(n-1)(0) = (n – 1)!a_n-1, . . .

Giải để tìm a_i, rồi thế vào (*), ta được :

Tương tự nếu một hàm số có thể được biểu diễn bằng chuỗi số lũy thừa theo x – a thì nó có thể được phân tích như sau:

f(x) = f(a) +f ‘(a)(x – a)/1! +     f “(a)(x – a)²/2! + . . . +             f ^{(n – 1)}(a)(x – a)^{n – 1}/(n – 1)!+ . . .

Khai triển f(x) thành một chuỗi số lũy thừa của x – a xuất hiện năm 1715 mà không đề cập đến sự hội tụ trong tác phẩm Methodus incrementorum directa et inverse của nhà toán học Anh Taylor (1685- 1731), và từ đó được gọi tên là khai triển Taylor của hàm số f(x) tại x = a. Khai triển Taylor ứng với a = 0 được gọi là khai triển Maclaurin của f(x), mặc dù Taylor và Stirling có đề cập đến khai triển này vài năm sau đó. Nó được gọi là khai triển Maclaurin sau khi nó được sử dụng đến trong công trình vĩ đại và có ảnh hưởng gồm 2 quyển có tên Luận Thuyết Về Vi Phân của Maclaurin (1698-1746), trong đó có tham khảo đến phát hiện của Taylor và Stirling.

Taylor áp dụng chuỗi số của mình để giải phương trình số như sau. Gọi a là một giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đặt f(a) = k, f ’(a) = k’, f ”(a) = k”, và x – a = h. Khai triển Taylor hàm số f(x) tại x = a. Loại bỏ tất cả các lũy thừa của h lớn hơn 2. Thế giá trị của k, k’, k” và giải để tìm h. Thế thì a + h là một giá trị xấp xỉ tốt hơn a của nghiệm đòi hỏi. Bằng cách áp dụng liên tiếp tiến trình này, ta càng lúc càng được các giá trị gần đúng tốt hơn của nghiệm. Một số công trình của Taylor trong lý thuyết phối cảnh được ứng dụng trong thời hiện đại trong ngành xử lý bằng toán học của phép quang trắc, một môn khoa học quan sát những không ảnh chụp từ  bụng máy bay.

Tầm quan trọng đầy đủ của chuỗi số Taylor chỉ mải đến năm 1755 mới được công nhận khi Euler áp dụng chúng một cách tài tình trong phép tính vi tích phân, và sau đó, đến năm 1797 Lagrange dùng chuỗi số này làm nền tảng của lý thuyết hàm của ông.

Maclaurin là một trong những nhà toán học lỗi lạc nhất của thế kỷ 18. Ông cũng đóng góp đáng kể trong hình học, đặc biệt trong việc nghiên cứu đường cong phẳng bậc cao, và ông chứng tỏ khả năng phi thường của mình khi áp dụng hình cổ điển vào các bài toán vật lí. Trong các công trình toán áp dụng có bài viết đoạt giải của ông về lý thuyết toán về sóng. Trong quyển Luận Thuyết Về Vi Phân của ông có phần nghiên cứu về lực hấp dẫn lẫn nhau giữa hai khối ellipsoid tròn xoay.

Maclaurin là một thiên tài. Ông trúng tuyển vào Đại học Glasgow lúc 11 tuổi. Năm 15 tuổi ông nhận được bằng cao học với luận án về lực hấp dẫn. Lúc 19 tuổi ông được bầu vào ghế dạy toán ở trường Marischal ở Aberdeen, và vào năm 21 tuổi cho in công trình quan trọng đầu tiên là Geometria organica. Năm 27 tuổi ông làm phụ tá cho giáo sư toán học của Đại học Edinburgh. Vì có khó khăn trong việc trả lương cho ông nên chính Newton đã góp một phần tài chính để đại học có thể trả lương cho người phụ việc trẻ tuổi xuất sắc này. Sau đó Maclaurin kế vị người mà ông phụ tá. Công trình của ông về vi tích phân xuất hiện khi ông 44 tuổi, chỉ bốn năm trước khi mất. Đó là tác phẩm trình bày có hệ thống và luận lí đầu tiên về phương pháp vi tích phân của Newton để đáp trả cho việc công kích đã phá của Berkeley về nền tảng của phép tính vi tích phân.

Chỉ khi nghiên cứu về vi tích phân chúng ta mới thấy được tầm hữu dụng của khai triển Taylor Maclaurin. Chắc chắn các học sinh trung học, ở một lúc nào đó, có thể ngạc nhiên tự hỏi làm thế nào mà người ta tạo ra được các bảng số lượng giác, logarit, lũy thừa. Dù bây giờ có máy tính nên các bảng số này chỉ còn là lịch sử, thì câu hỏi được đặt ra là các máy tính đã được “ dạy” như thế nào để tính được các giá trị của các hàm số ấy. Câu trả lời là chúng đã được tính bằng khai triển Taylor Maclaurin.

Giả sử, ví dụ, người ta muốn tính giá trị xấp xỉ của e. Độc giả có thể kiểm tra kết quả sau bằng cách áp dụng khai triển Maclaurin cho hàm số  e^x :

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + . . . + x^{n – 1}/(n – 1)! + . . .

Cho x = 1, ta được

e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + . . .

= 1 + 1 + 0,5 + 0, 166667 + 0, 041667 + 0,008333 + 0,001389 + 0,000198 + . . .

(chú ý các số hạng này có thể được tính bằng tay dễ dàng bằng cách nhận xét số hạng thứ k là số hạng thứ k – 1 chia cho k)

Kết quả ta được giá trị xấp xỉ e = 2,718254, đúng đến 4 chữ số thập phân.

Ví dụ khác, giả sữ ta muốn tính sin10⁰ = sin(π/18) đúng đến 5 chữ số thập phân. Áp dụng khai triển Maclaurin cho hàm số sinx hội tụ với mọi x, ta được:

sinx = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + . . .

Suy ra: sin(π/18) = π /18 – (π /18)³/3! + (π /18)⁵/5! – . . .

= 0,174352 – 0,000886 + 0,000001 – . . . .

Chú ý số hạng thứ ba không ảnh hưởng đến chữ số thập phân thứ năm, do đó, lấy hai số hạng đầu của khai triển, ta được giá trị của sin10⁰ gần đúng đến 5 chữ số thập phân là :

sin10⁰ = 0,17365

Thêm một ví dụ nữa, ta thử dùng khai triển để tính giá trị gần đúng của tích phân

Đặt z = x². Dùng khai triển Maclaurin, ta được :

sinz = z – z³/3! + z⁵/5! – . . .

Suy ra:

sinx² = x² – x⁶/3! + x¹⁰/5! – . . .

Lấy tích phân hai vế:

Phép tính phi thường giá trị của số π đến hơn nửa triệu chữ số thập phân vào năm 1967 được thực hiện bằng chuỗi số lũy thừa với máy tính phôi thai của thời ấy. Khám phá này của Taylor và Maclaurin xứng đáng được vinh danh là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC.