Những Thời Khắc Trọng Đại của TOÁN HỌC- Bài 19

SỰ GIẢI PHÓNG CỦA HÌNH HỌC (1)

Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

Chúng ta giờ đây sẽ kể lại hai bước phát triển toán học cách mạng và nổi bật xãy ra trong nửa đầu thế kỷ 19. Thứ nhất là sự phát hiện, khoảng 1829, về một hình học tự tương thích rất khác biệt với môn hình học Euclid vốn rất thân thiết; thứ hai là sự phát hiện, năm 1843, về một đại số khác biệt cơ bản với đại số quen thuộc của số thực. Mỗi bước phát triển này xứng đáng được vinh danh là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC, và với mỗi sự kiện, chúng ta sẽ dành hai bài tương xứng với tầm quan trọng của chúng.

Trong mỗi trường hợp cách tiếp cận của chúng ta chủ yếu là tính lịch sử, bởi vì mỗi bước phát triển liên quan đến những ý tưởng toán học nền tảng, và một sự am hiểu chân thật các ý tưởng không thể có được nếu không phân tích về nguồn gốc của chúng.

Bước đầu tiên của phát triển đã tạo ra một trong những chiến công vĩ đại nhất trong lịch sử phát triển tư tưởng nhân loại. Như một số chuyện hấp dẫn liên quan đến sự tiến hóa của toán học, người ta tìm thấy bước khởi đầu của nó có gốc rễ ngay từ thời xa xưa của Hy Lạp cổ đại, chính xác là từ việc phê phán tiên đề thứ 5 về quan hệ song song trong bộ Các Yếu Tố của Euclid.

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác và tạo với chúng hai góc trong cùng bên nhỏ hơn 2 góc vuông, thì hai đường thẳng ấy khi kéo dài sẽ cắt nhau tại một điểm về phía miền chứa hai góc nói trên.

Triết gia tân-Platon sống vào thế kỷ thứ 5 là Proclus, trong quyển Phê phán Euclid, đã bảo rằng tiên đề này đã bị công kích ngay từ lúc đầu. Ngay cả khi chỉ đọc thoáng qua người ta cũng nhận thấy một sự khác biệt giữa tiên đề này với 4 tiên đề khác của Euclid.

Qua hai điểm cho trước luôn kẻ được một đường thẳng.
Một đường thẳng có thể kéo dài liên tục về cả hai phía.
Một đường tròn có thể dựng được nếu biết tâm là điểm cho trước và qua một điểm thứ hai cho trước.
Mọi góc vuông đều bằng nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác và tạo với chúng hai góc trong cùng bên nhỏ hơn 2 góc vuông, thì hai đường thẳng ấy khi kéo dài sẽ cắt nhau tại một điểm về phía miền chứa hai góc nói trên.

Tiên đề 5 này dài dòng và có vấn đề chứ không súc tích và dễ hiểu như 4 tiên đề kia, cũng như không có vẽ hiển nhiên như bản chất mà tiên đề phải có. Nếu xét kỹ hơn thì tiên đề này chính là mệnh đề đảo của định lí I.17

Không ngạc nhiên khi có nhiều người thấy nó có vẽ là một định lí hơn là một tiên đề. Hơn nửa Euclid hình như cũng sử dụng nó một cách miễn cưỡng, vì mãi đến Định lí I. 29 ông mới bắt đầu dùng đến nó.

Vấn đề là nếu chúng ta cảm thấy khổ sở vì một tiên đề nào đó trong một hệ thống lí luận của một môn học nào đó thì có hai điều ta có thể làm là – hoặc thay thế tiên đề này bằng một tiên đề khác nhưng dễ chấp nhận hơn, hoặc là loại bỏ nó bằng cách chứng minh nó chỉ là một định lí có thể suy ra từ các định lí hay tiên đề khác của hệ thống. Những nỗ lực đi về cả hai hướng này đã được thực hiện từ thời xa xưa.

Sau đây là vài tiên đề được đề nghị thay thế cho tiên đề thứ 5 đã xuất hiện theo thời gian qua:

Tồn tại một cặp đường thẳng đồng phẳng luôn cách đều nhau ở mọi nơi.
Qua một điểm cho trước không thuộc đường thẳng có thể kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng ấy.
Tồn tại một cặp tam giác đồng dạng và không bằng nhau.
Nếu trong một tứ giác có một cặp cạnh đối bằng nhau và các góc cùng kề với cạnh thứ ba là góc vuông, thế thì hai góc còn lại cũng vuông.
Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng vuông.
Tồn tại ít nhất một tam giác có tổng ba góc bằng 2 góc vuông.
Qua một điểm bên trong một góc nhỏ hơn 60⁰ luôn có thể kẻ được một đường thẳng cắt cả hai cạnh của góc đó.
Qua ba điểm không thẳng hàng có thể dựng được một đường tròn .
Không có giới hạn trên của diện tích một tam giác .

Trong các ứng viên thay thế này, tiên đề được ưa chuộng nhất và được trình bày trong hầu hết giáo trình toán trung học là tiên đề số 2, do nhà vât lý và toán học người Scotland là John Playfair (1748-1819) cổ xúy vì tiên đề này đã được Proclus đề xướng từ thế kỷ thứ 5. Rõ ràng tiên đề thay thế này khá hơn nhiều so với các đề nghị khác khá rối rắm và không hiển nhiên hay tốt hơn chút nào so với tiên đề gốc.

Với các tiên đề thay thế ta có một cụm bài tập thú vị và đầy thử thách là chứng minh chúng tương đương với tiên đề gốc, nghĩa là ta chứng minh rằng chúng là định lí nếu ta sử dụng các tiên đề của Euclid, và ngược lại nếu dùng chúng cùng với 4 tiên đề khác của Euclid , ta có thể chứng minh tiên đề số 5 như một định lí.

Qua hàng thế kỷ, các nỗ lực để rút ra tiên đề 5 của Euclid từ các tiên đề khác của ông nhiều vô số kể. Và tất cả đều đi đến thất bại, sớm hay muộn người ta cũng tìm ra là cách chứng minh ấy đều dựa vào một giả định ngầm tương đương với chính tiên đề ấy. Cách chứng minh sớm nhất theo như ta biết là của Claudius Ptolemy (khoảng 150 sau Công nguyên). Chính Proclus đã phát hiện ra khiếm khuyết trong cách chứng minh của Ptolemy vì ông này đã ngầm sử dụng giả định rằng qua một điểm không thuộc một đường thẳng cho trước có thể kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng ấy, đây chính là tiên đề thay thế của Playfair.

Proclus cũng đưa ra cách chứng minh của ông nhưng lần này tới phiên ông lại vô tình ngầm chấp nhận giả định 1 ở trên đây mà không biết, và giả định này có thể được chứng minh là tương đương với tiên đề số 5. Trong số những nỗ lực đáng chú ý trong các thời kỳ sau này có cổng trình vào thế kỷ 13 của Nasir-ed-Din (1201-1272) của nhà toán học và thiên văn học Ba Tư. Ông soạn ra, theo một bản dịch tiếng Ả Rập, một ấn bản cải tiến của tác phẩm Các Yếu Tố và viết một luận thuyết về tiên đề Euclid, nhưng nỗ lực này cũng sử dụng đến một giả định ngầm tương đương với tiên đề được “chứng minh.”

Trong thời Phục Hưng, nỗ lực làm mới lại tiên đề số 5 là một kích thích quan trọng cho việc phát triển hình học ở Âu châu trong thời kì ấy. Nhưng các nỗ lực này cuối cùng cũng chịu chung số phận như các nỗ lực trước đây, mãi cho đến khi Girolamo Saccheri bắt tay tham gia vào việc nghiên cứu vào năm 1733.

Saccheri sinh tại San Remo năm 1667, chưa đến 23 tuổi đã là tu sĩ chính thức của dòng tu Jesuit. Ông dành hết thời gian của đời mình vào việc dạy học ở các trường đại học khác nhau. Trong khi dạy về tu từ học, triết lý và thần học ở đại học Jesuit ở thành phố Milan, Saccheri đọc được quyển Các Yếu Tố của Euclid và bị mê hoặc bởi phép chứng minh phản chứng đầy sức mạnh của nó. Sau đó, trong thời gian dạy triết lý ở Turin, Saccheri cho in tác phẩm Logica demonstrative, trong đó sự cách tân chính yếu là áp dụng phép chứng minh phản chứng vào việc nghiên cứu luận lí hình thức. Vài năm sau, khi là giáo sư toán tại Đại học Pavia, ông nảy ra ý định dùng phép chứng minh phản chứng để nghiên cứu tiên đề số 5 của Euclid. Ông đã chuẩn bị đầy đũ tư thế vào công trình lớn lao này sau nhiều năm dạy logic, cũng như đã tìm hiểu những thất bại của nhiều nhà toán học đi trước.

Hướng đi của Saccheri là hoàn toàn mới khi áp dụng phép chứng minh phản chứng, trong đó ông là người đầu tiên có ý tưởng tìm hiểu những kết quả có được nếu ta từ chối chấp nhận tiên đề này là đúng. Kết quả của công trình được ông trình bày trong tác phẩm nhỏ mang tên Euclides ab naevo vindicatus (Euclid đã loại ra mọi khuyết điểm), được xuất bản ở Milan năm 1733, chỉ một vài tháng trước khi ông mất. Trong công trình này, ông chấp nhận 28 định lí đầu tiên của Các Yếu Tố, mà như đã nói, các định lí này không dùng đến tiên đề số 5. Với sự trợ giúp của các định lí này ông tiến hành nghiên cứu các hình ông gọi là isosceles birectangle (nhị vuông cân),

đó là một tứ giác ABDC có AD = BC và góc A và B đều vuông. Tứ giác này cũng được gọi là tứ giác Omar Khayyam (1048-1131) vì nhà thi sĩ – toán học Ả rập cũng đã nghiên cứu trước đó mấy trăm năm. Bằng cách vẽ đường chéo AC và BD và dùng điều kiện bằng nhau của hai tam giác (có mặt trong số 28 định lí đầu), Saccheri dễ dàng chứng minh được góc C và D cũng bằng nhau. Nhưng không có gì đoan chắc về độ lớn của hai góc này. Lẽ dĩ nhiên, nếu dùng tiên đề số 5 thì chứng minh được hai góc này đều vuông nhưng Saccheri đã không chấp nhận nó.

Với một đầu óc phóng khoáng, ông nêu ra ba giả thuyết sau đây đều có thể xảy ra: hai góc này đều vuông, đều nhọn hay đều tù. Kế hoạch là loại bỏ hai trường hợp sau bằng cách chứng minh phản chứng rằng nếu chúng đúng sẽ dẫn đến một điều trái với chân lí đã được biết, do đó giả thuyết đầu tiên phải đúng. Và giả thuyết đầu tiên này thì tương đương với tiên đề số 5. Bằng cách này tiên đề song song được thiết lập và như vậy sự khiếm khuyết của giả định này mà Euclid đưa ra đã bị loại trừ.

Nhiệm vụ loại bỏ giả thuyết góc nhọn và tù hóa ra không đơn giản chút nào. Bằng kỹ năng hình học điêu luyện và phép suy luận sâu sắc tinh tế, Saccheri thiết lập được một số định lí, trong đó những định lí sau là quan trọng nhất:

Nếu một giả thuyết nào đúng cho một tứ giác nhị vuông cân thì nó cũng đúng cho mọi tứ giác nhị vuông cân khác
Với giả thuyết góc vuông, tù hay nhọn, ta được tổng ba góc tam giác theo thứ tự là bằng hai vuông, lớn hơn hay nhỏ hơn hai vuông.
Nếu tồn tại một tam giác có tổng bằng hai vuông, lớn hơn hay nhỏ hơn hai vuông, thì suy ra theo thứ tự giả thuyết góc vuông, góc tù hay góc nhọn cũng đúng.
Cho một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng, tùy theo giả thuyết là góc vuông, góc tù hay góc nhọn, theo thứ tự, ta có thể dựng được duy nhất một, không hay vô số đường qua điểm đó và không cắt đường thẳng đã cho.
Tập hợp đầu mút thứ nhất của một đoạn thẳng có độ dài không đổi luôn vuông góc với một đường thẳng cho trước tại đầu mút thứ hai, tuỳ theo giả thuyết là góc vuông, góc tù hay góc nhọn, theo thứ tự là một đường thẳng, một đường cong lồi, hay lõm đối với đường tháng cho trước.

Cũng ngầm công nhận như Euclid đã làm khi chứng minh định lí I. 16 rằng những đường thẳng thì vô hạn, Saccheri có thể loại bỏ được giả thuyết về góc tù, nhưng với góc nhọn thì coi bộ khó khăn hơn nhiều.

Sau khi thu hoạch được nhiều định lí mà bây giờ đã trở thành kinh điển và được gọi là hình học phi Euclid, để loại bỏ giả thuyết góc nhọn, Saccheri rụt rè gán ép một kết luận mâu thuẫn gượng gạo, không thuyết phục bằng cách dựa vào những khái niệm mơ hồ về các yếu tố ở vô tận. Sau bao nhiêu công lao nghiêm cẩn đạt được đến giờ, khó có thể tin rằng chính Saccheri thật sự tự thuyết phục được mình cái kết thúc hời hợt này. Nếu ông không quá hăng hái cố đưa ra một mâu thuẫn ở đây, và thay vào đó, can đảm công nhận là mình đã thất bại trong việc tìm ra một kết quả mâu thuẫn, thì ngày nay không nghi ngờ gì nữa, ông chắc chắn được vinh danh là người đã khám phá ra một ngành hình học mới phi Euclid.

Công trình ông hình như ít được người đương thời biết đến và sớm bị lãng quên. Chỉ khi đến năm 1889, một người đồng hương là Beltrami, đã làm sống lại nó sau khi đã dịch tác phẩm của ông ra Anh ngữ.

Năm 1766, ba mươi ba năm sau khi xuất bản công trình của Saccheri, Lambert (1728-1777), nhà toán học Hà Lan, có viết một nghiên cứu tựa là Die Theorie der Parallellinien, nhưng chỉ được in 11 năm sau khi ông mất. Lambert chọn hình phát xuất là tứ giác tam vuông tức tứ giác có ba góc vuông. Cũng như với Saccheri, ba giả thuyết xuất hiện tùy theo góc thứ tư của tứ giác tam vuông là vuông, tù hay nhọn.

Lambert còn đi xa hơn Saccheri khi rút ra được những định lý dưới các giả thuyết góc tù và nhọn. Như Saccheri, ông chứng minh được tổng số ba góc của một tam giác thì lớn hơn 2 vuông trong giả thuyết góc tù, và nhỏ hơn 2 vuông trong giả thuyết góc nhọn, và hơn nữa, phần dư của góc tù so với góc vuông cũng như phần thiếu của góc nhọn so với góc vuông thì tỉ lệ với diện tích tam giác. Ông cũng phát hiện ra sự giống nhau giữa hình học với giả thuyết góc tù giống với hình học trên mặt cầu.

Cũng như Saccheri, Lambert loại bỏ được giả thuyết góc tù bằng cách thừa nhận ngầm như Saccheri là đường thẳng có thể kéo dài đến vô tận, nhưng các kết luận về giả thuyết góc nhọn không rõ ràng và không thỏa mãn. Có lẽ vì thế mà ông đã không cho in công trình của mình khi còn sống. Chỉ sau khi ông qua đời, các bạn bè mới tập hợp các công trình và cho xuất bản với hình thức di cảo.

Sau Saccheri và Lambert còn có nhà toán học Pháp Legendre (1752-1833), nhưng ông cũng không đóng góp gì nhiều hơn so với Saccheri một trăm năm trước, nhất là khoảng thời gian đó, trong một xứ sở tương đối cách biệt với thế giới học thuật và khoa học tây phương, một nhà toán học Nga đã đạt được một bước tiến có ý nghĩa, mà sự táo bạo và quan trọng của nó đã vượt xa bất cứ gì Legendre đã tìm được.