Nghiên Cứu Lịch Sử

  VƯỢT QUA HỮU HẠN

 Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

Các nhà toán học và triết gia, đã vật lộn với các khái niệm về vô cực và những tập hợp vô hạn từ những ngày xa xưa thởi Hi lạp cổ đại. Nghịch lí của Zeno là một ví dụ sớm sủa của một vài khó khăn đã gặp phải. Một số người Hi lạp, như Aristotle và Proclus, chấp nhận sự kiện là một tập hợp có thể làm lớn hơn mải mải mà không hề bị chận, nhưng từ chối sự tồn tại của một tập hợp hoàn tất (completed). Suốt thời Trung cổ các triết gia đã biện giải về vấn đề tiềm năng đối với thực thể của số vô cực. Cũng chú ý là sự so sánh giữa các số vô cực dẫn đến nghịch lí. Ví dụ, số điểm trên hai đường tròn đồng tâm là bằng nhau vì chúng có thể tương ứng một – một bằng cách liên kết các cặp điểm trên bán kính chung; trong khi độ dài đường tròn này lại dài hơn đường tròn kia.

Galileo cũng vật lộn với những tập hợp vô hạn, và ông ta cũng thấy rằng tính chất hoàn tất của nó phải bị loại bỏ. Trong tác phẩm Hai Khoa Học Mới (1638), ông nhận xét rằng các điểm trên hai đoạn thẳng không bằng nhau có thể tương ứng một – một bằng một phép chiếu đơn giản từ đoạn này lên đoạn kia, và như thế chúng có cùng số điểm, mặc dù đoạn này dài hơn đoạn kia và do đó, theo tự nhiên, phải có nhiều điểm hơn đoạn kia.

Ông cũng nhận ra những số nguyên dương có thể tương ứng một – một với bình phương của chúng, mặc dù tập hợp những số chính phương chỉ là một tập hợp con thực sự những số nguyên dương. Những nghịch lí gây bối rối này chỉ xuất hiện nếu ta giả định có sự tồn tại của những tập hợp vô hạn hoàn tất; để tránh nghịch lí, ta phải loại bỏ ý tưởng của một tập hợp vô hạn hoàn tất.

Gauss, trong một bức thư danh tiếng gởi Schumacher ngày 12/7/1831, nói : “Tôi chống lại cách sử dụng một đại lượng vô cùng như là một thực thể thực sự; điều này không hề được cho phép trong toán học. Vô cực chỉ là một cách nói, trong đó người ta đề cập đến những giới hạn mà một vài tỉ số có thể tiến gần đến đó như mong muốn, trong khi những tỉ số khác được phép tăng lên vô hạn.” Cauchy cùng với nhiều người khác cũng khước từ sự tồn tại của các tập hợp vô hạn hoàn tất vì do nghịch lí là những tập hợp như thế có thể tương ứng một-một với một tập con thực sự của chúng. Do đó, mặc dù các nhà toán học làm việc với những tập hợp vô hạn như chuỗi số vô hạn, số thực, số tự nhiên v.. v . . họ thường tránh né vấn nạn phiền toái ở đằng sau giả định là các tập hợp vô hạn hoàn tất tồn tại. Khi các nhà toán học cuối cùng phải đối mặt với vấn đề phải tạo cho giải tích tính nghiêm nhặt cần có, vấn nạn trên không còn có thể bỏ qua mà phải được giải quyết.

Bolzano (1781-1848) trong tác phẩm Những Nghịch Lí Của Vô Cùng in năm 1851, ba năm sau khi ông qua đời, là người đầu tiên đi những bước tích cực theo hướng công nhận sự tồn tại thực sự của tập hợp vô hạn. Ông cho rằng sự kiện một tập hợp vô hạn có thể tương ứng một –một với một bộ phận của nó phải được chấp nhận như một thực tế. Nhưng công trình của Bolzano về sự vô cùng, mặc dù là khai phá, nhưng lại thiên về triết lý hơn là toán học. Một nghiên cứu thực sự toán học về tập hợp vô hạn chỉ xuất hiện với công trình xuất sắc của Cantor vào cuối thế kỷ thứ 19.

Georg Cantor sinh trong gia đình người Đan Mạch ở St. Peterburg, Nga vào năm 1845, và chuyển về sống tại Đức vào năm 1856. Cha của Cantor là một người theo Do Thái Giáo sau đó cải theo đạo Tin Lành, còn mẹ là người Công giáo. Đứa con do đó sớm quan tâm sâu sắc đến thần học trung cổ, và quen thuộc với biện giải về tính liên tục và vô hạn. Kết quả là ông từ bỏ đề nghi của cha khuyến cáo theo nghề kỹ sư để chuyên tâm vào triết lý, vật lý và toán học. Ông theo học ở Zurich, Gottingen và Berlin (tại đây ông chịu ảnh hưởng của Weierstrass và cũng tại đây ông nhận bằng tiến sĩ vào năm 1869). Sau đó ông theo nghề dạy học trong một thời gian dài tại Đại học Halle từ 1869 đến 1905. Ông chết trong nhà thương tâm thần ở Halle năm 1918.

Mối quan tâm ban đầu của Cantor là lý thuyết số, các phương trình dạng vô định, chuỗi số lượng giác. Lý thuyết tinh tế của chuỗi lượng giác đã tạo cho ông cảm hứng đi sâu nghiên cứu nền tảng của giải tích. Ông khai sinh số vô tỉ như là giới hạn của một dãy số hữu tỷ, khác xa với cách Dedekind định nghĩa bằng phép cắt lấy cảm hứng từ hình học- và đến năm 1874 bắt đầu công trình cách mạng về lý thuyết tập hợp và về số vô cùng. Với công trình thứ hai này, Cantor đã sáng tạo một lĩnh vực nghiên cứu toán học hòan toàn mới. Trong tác phẩm của mình, ông phát triển một lý thuyết về những số siêu hạn (transfinite), dựa trên luận thuyết toán học về sự vô cùng thực sự, và tạo ra số học về những số siêu hạn tương tự như số học về những số hữu hạn.

Cantor rất sùng đạo, và công trình của ông, theo một nghĩa nào đó, coi như tiếp nối sự biện bác liên hệ với các nghịch lí của Zeno, phản ánh sự trân trọng của ông với những chiêm nghiệm kinh viện trung cổ về bản chất của vô cùng. Những quan điểm của ông gặp sự chống đối chủ yếu từ Kronecker (1823-1891) ở Đại học Berlin, và chính Kronecker đã từ chối kịch liệt mọi nỗ lực của Cantor xin một chân giảng dạy tại Đại học lừng danh này. Ngày nay, lý thuyết tập hợp của Cantor đã xâm nhập mọi ngành toán học và chứng tỏ đặc biệt quan trọng trong vị tướng học (topology) và nền tảng của lý thuyết hàm thực.

Ta gọi số phần tử của một tập hợp hữu hạn là chính số của nó. Như vậy số các chính số của tập hợp hữu hạn đồng nhất với các số tự nhiên. Các chính số của tập hợp vô hạn được gọi là những số siêu hạn. Cantor phát triển lý thuyết của ông về số siêu hạn xuất hiện trong một loạt các bài viết nổi tiếng từ năm 1874 đến 1895 và phần lớn in trong tập san toán học Đức Mathematicsche Annalen và Journal fur Mathematik.

Trước các nghiên cứu của Cantor, các nhà toán học chỉ biết đến một số vô cực, kí hiệu ∞, và kí hiệu này được dùng chung để biểu thị “ số” các phần tử trong các tập hợp như tập hợp mọi số tự nhiên, tập hợp mọi số thực, và tập hợp mọi điểm trên đoạn thẳng. Qua công trình của Cantor, một tầm nhìn mới mẻ và bao quát được giới thiệu, và một kích cỡ số học mới được thành tựu. Vì tính táo bạo phi thường của các ý tưởng trong công trình của Cantor, và vì một số các phương pháp chứng minh độc đáo của chúng mà lý thuyết các số siêu hạn của Cantor có sức lôi cuốn mạnh mẽ. Đây chính là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC. Chúng ta hãy tìm hiểu ngắn gọn lý thuyết đáng nể này.

Chúng ta bắt đầu bằng khái niệm tương đương của hai tập hợp, đó là hai tập hợp mà ta có thể tương ứng một – một các phần tử của chúng. Ví dụ tập hợp A = { 0; 1 ; 2 ; 7} các số tự nhiên và tập hợp B = {*; @

; % ; &} các kí hiệu là hai tập hợp tương đương, vì ta có thể tương ứng 0 ↔ *, 1 ↔ @, 2 ↔ % và 7 ↔ &. Nếu hai tập hợp là hữu hạn như trong trường hợp trên, rõ ràng chúng tương đương khi và chỉ khi chúng có số phần tử bằng nhau, hay ta gọi là có cùng chính số : n(A) = n(B) = 4. Nếu ta áp dụng nguyên tắc trên cho các tập hợp vô hạn, thì sẽ gặp các kết quả thú vị không ngờ. Như Galileo quan sát thấy rằng, nếu dùng tương ứng n ↔ n², thì kết quả là tập hợp mọi số chính phương thì tương đương với tập hợp mọi số nguyên dương, và như thế ta phải nói chúng có cùng chính số, và theo quan điểm này, ta có quyền nói số các số chính phương “bằng” với số các số nguyên dương. Kết quả là tiên đề Euclid nói rằng toàn phần thì lớn hơn thành phần không còn đúng khi nói về chính số của các tập hợp vô hạn.

Chúng ta kí hiệu chính số của tập hợp mọi số tự nhiên bằng d (Cantor thì kí hiệu chính số này bằng א_o (đọc là aleph không), và bảo rằng một tập hợp có chính số này là tập hợp đếm được. Như vậy ta nói có d số chính phương, có d số tự nhiên, giống như ta nói tập hợp A, B ở trên có 4 phần tủ. Và suy ra rằng một tập hợp S gọi là đếm được khi và chỉ khi các phần tử của chúng có thể liệt kê dưới dạng dãy số {s₁, s₂, s₃ , . . .}. Vì bất kì tập hợp vô hạn nào cũng có chứa một tập con đếm được nên d chính là số siêu hạn “nhỏ nhất”.

Trong lĩnh vực các số siêu hạn ta bắt gặp nhiều sự kiện tưởng như nghịch lý, mà câu chuyên về khách sạn có vô hạn phòng do  Hilbert mình học là thú vị nhất. Tưởng tượng một siêu khách sạn có vô hạn phòng, đánh số 1, 2, 3, . . . (Số phòng là vô hạn đếm được). Tất cả phòng đều đã có khách trọ. Sau đó có 3 người khách đến trọ. Ông chủ đon đả chào và bảo khách đợi sắp xếp một chút. Ông bảo quản lý yêu cầu mỗi người khách đang trọ phòng số n dời sang phòng số n + 3, tức khách ở phòng 1 dời sang phòng 4, ở phòng 2 đời sang phòng 5 . . . Như vậy còn trống 3 phòng đầu để xếp 3 khách vừa đến. Nhưng chưa hết, hôm sau lại có số khách mới, nhưng lần này số khách mới là vô hạn. Ông chủ cũng đon đả tiếp khách, không có vẻ gì căng thẳng dù mọi phòng đã có người.  Ông ra lệnh cho quản lý yêu cầu khách đang ở phòng n làm ơn dời sang phòng 2n – 1. Như vậy khách phòng 1 dời sang phòng 2. 1 – 1 = 1, tức ở yên chỗ cũ, khách phòng 2 đời sang phòng 2. 2 – 1 = 3, khách phòng 3 dời sang phòng 2. 3 – 1 = 5 . . . Như vậy mọi phòng chẵn bây giờ đã trống và chứa đủ tất cả số vô hạn khách mới!

Trong các bài viết đầu tiên của mình, Cantor chứng minh hai tập hợp quan trọng sau đây là đếm được, mà thoạt nhìn chúng ta không thể tin được.

Tập hợp đầu tiên là tập hợp các số hữu tỷ. Tập hợp này có tính dày đặc, có nghĩa là giữa hai số hữu tỷ phân biệt tồn tại một số hữu tỷ khác – đúng ra là tồn tại vô số số hữu tỷ khác.

Ví dụ:

• giữa số 0 và 1 có những số hữu tỷ sau: ½, 2/3, ¾, 4/5, 5/6 , . . ., n/(n+1) . . .

• giữa 0 và ½ có những số hữu tỷ 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11, . . . , n/(2n +1), . . .

• giữa 0 và 1/3 có những số hữu tỷ 1/4, 2/7, 3/10, 4/13, 5/16, . . . , n/(3n +1), . . và cứ thế.

Vì tính chất này, ta có thể tin rằng chính số của tập hợp những số hữu tỷ chắc phải lớn hơn d. (Nhớ rằng chính số của tập hợp A gọi là lớn hơn chính số của tập hợp B khi và chỉ khi B tương đương với một tập con thực sự của A, còn A thì không tương đương với bất cứ tập con nào của B). Cantor chứng tỏ rằng thật ra không phải như vậy, mà ngược lại tập hợp các số hữu tỷ là đếm được. Cách chứng minh của ông thật thú vị, được trình bày như sau.

ĐỊNH LÍ. Tập hợp các số hữu tỷ thì đếm được.

CM  Xét các dãy số:

trong đó dãy thứ 1 chứa những số tự nhiên theo thứ tự lớn dần (đó là những phân số dương có mẫu là 1); dãy thứ 2 chứa những phân số dương có mẫu là 2 theo thứ tự lớn dần, . . . , dãy thứ n chứa những phân số dương có mẫu là n theo thứ tự lớn dần. . .v ….v. Dễ thấy là tất cả số hữu tỷ đều có mặt trong bảng này, và nếu ta liệt kê các số này theo thứ tự cho bởi mũi tên, bỏ đi những số đã xuất hiện rồi, chúng ta sẽ được một dãy số vô hạn: 1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, . . .trong đó mỗi số hữu tỷ dương xuất hiện một và chỉ một lần. Gọi dãy số này là {r₁, r₂, r₃,    }, thế thì dãy số {0, – r₁, r₁, – r₂, r₂ ,    } chứa tất cả những số hữu tỷ. Vậy tập hợp các số hữu tỷ thì đếm được.

Tập hợp thứ hai mà Cantor đề cập đến còn lớn hơn tập hợp những số hữu tỷ. Hãy bắt đầu bằng định nghĩa.

ĐỊNH NGHĨA 1. Một số phức được gọi là số đại số nếu nó là nghiệm của một phương trình đa thức f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + . . . + a_n-1x + a_n = 0

trong đó a_o ≠ 0 và mọi hệ số a_i đều nguyên. Một số phức không đại số gọi là số siêu việt.

Dễ thấy các số đại số bao gồm mọi số hữu tỷ và mọi căn thức của các số đó. Chẳng hạn số hữu tỷ p/q là nghiệm của phương trình qx – p = 0; căn bậc n của số hữu tỷ p/q là nghiệm của phương trình qxⁿ – p = 0.    Vậy mà ta có định lí sau, không thể không lấy làm ngạc nhiên:

ĐỊNH LÍ 2. Tập hợp mọi số đại số thì đếm được.

CM: Gọi f(x) là đa thức có dạng của định nghĩa 1 ở trên, không mất tính tổng quát, có thể giả sữ a₀ > 0. Nhắc lại rằng ta có định lý cho biết một phương trình đa thức bậc n có đúng n nghiệm (thực hay phức). Như vậy nếu “đếm được” số các đa thức  thì định lý được chứng minh.

Để làm điều độ, ta đưa ra khái niệm chiều cao của đa thức. Chiều cao h của đa thức, là số định bởi:

h = n + a₀ + |a₁| + |a₂| + . . .+ |a_n|.

Hiển nhiên, h là một số nguyên ≥ 1, và rõ ràng là chỉ có một số hữu hạn đa thức có chiều cao h cho trước, và do đó chỉ có một số hữu hạn số đại số phát xuất từ các đa thức có chiều cao cho trước. Như vậy, chúng ta có thể liệt kê mọi số đại số, loại bỏ những số lặp lại nếu có, xuất phát từ các đa thức có chiều cao 1, rồi tiếp theo xuất phát từ các đa thức có chiều cao 2, và cứ thế. Do đó tập hợp các số đại số có thể liệt kê thành một dãy vô hạn; suy ra nó đếm được.

Theo như hai định lí vừa qua, có vẻ như là mọi tập hợp vô hạn đều đếm được. Thật ra điều đó không đúng, vì Cantor đã khẳng định:

ĐỊNH LÍ 3. Tập hợp mọi số thực trong khoảng (0 ; 1) thì không đếm được.

CM: Cách chứng minh này là phản chứng và sử dụng một phương pháp đặc biệt gọi là qui trình chéo Cantor. Giả sữ tập hợp này đếm được, thế thì chúng ta có thể liệt kê các số thực thành dãy {p₁, p₂, p₃, . . . }. Mỗi số p_i này có thể viết theo một cách duy nhất dưới dạng số thập phân vô hạn.

Ở đây cũng cần nhắc lại là mọi số hữu tỷ đều có thể viết dưới dạng một số thập phân vô hạn tuần hoàn; ví dụ số 0,3 được viết thành 0,29999, chữ số 9 lặp lại tuần hoàn vô hạn. . ., số 37/7 = 5,285714 285714 285714. . . , chu kỳ tuần hoàn là 285714.

Chúng ta có thể liệt kê tập hợp này theo cách sau:

p₁ = 0,a₁₁ a₁₂a₁₃ . . .

p₂ = 0,a₂₁a₂₂a₂₃ . . .

p₃ = 0,a₃₁a₃₂a₃₃ . . .

…………………

trong đó a_ij là các chữ số thuộc {0, 1, 2, 3, . . ., 9}. Với cách liệt kê như thế, vẫn còn có số không thuộc dãy ấy, chẳng hạn đó là số có dạng 0,b₁b₂b₃ . . . trong đó b_k ≠ a_kk với k = 1, 2, 3, . . . Chẳng hạn:

p₁ = 0,780 . . .

p₂ = 0,201 . . .

p₃ = 0,711 . . .

………………….

ta lấy b₁ ≠ a₁₁ = 7, chọn b₁ = 3, b₂ ≠ a₂₂ = 0, chọn b₂ = 1, b₃ ≠ a₃₃ = 1, chọn b₃ = 2 . . .

Như vậy số 0,b₁b₂b₃ . . .

= 0,312. . . là số thực thuộc khoảng (0 ; 1). Số này ≠ p₁ vì chữ số b₁ ≠ a₁₁, số này ≠ p₂ vì chữ số b₂ ≠ a₂₂ , . . . Như vậy số 0,b₁b₂b₃ . . . này chắc chắn không có mặt trong dãy liệt kê ở trên vì nó khác p_k với mọi k. Điều này trái giả thiết, do đó tập hợp các số thực trên (0 ; 1) là không đếm được.

Từ định lí 2 và 3, Cantor suy ra kết quả quan trọng sau:

ĐỊNH LÍ 4. Các số siêu việt tồn tại.

CM: Thật vậy, theo định lí 3, tập hợp các số thực giữa 0 và 1 thì không đếm được, do đó tập hợp các số phức thì không đếm được. Nhưng theo định lí 2, tập hợp các số đại số là đếm được, như vậy phải tồn tại những số phức không phải là số đại số, và định lí được chứng minh.

Không phải nhà toán học nào cũng chấp nhận cách chứng minh định lí 3 và 4 ở trên. Sụ không thể chấp nhận được hay không chấp nhận được của cách chứng minh trên nằm ở chổ ta hiêu thế nào là tồn tại toán học. Môt số nhà toán học cho rằng sự tồn tại một vật thể toán học chỉ được khắng định khi vật thể ấy được xác định và tạo ra. Còn định lí 4 ở trên không đưa ra một số siêu việt cụ thể nào nên không thể khẳng định sự tồn tại của số siêu việt. Vì không hài lòng với kết luận này, một số nhà toán học đã nỗ lực tìm cách chứng minh sự tồn tại số siêu việt bằng cách chỉ ra một số siêu việt cụ thể.

Chính Hermite (1822-1901), vào năm 1873, đã chứng minh được số e, cơ số của logarit tự nhiên, là một số siêu việt. Và Lindermann (1852-1939), trong năm 1882, lần đầu tiên đã chứng minh được số π cũng

là số siêu việt. Số gọi là số Hilbert, cũng là số siêu việt. Sau gần 30 năm nỗ lực, các nhà toán học chứng minh được những số có dạng a^b với a là số đại số khác 0, 1 , và b là số vô tỷ, (số Hilbert là một số như thế) là một số siêu việt.

Vì tập hợp những số thực thuộc (0 ; 1) thì không đếm được, nên chính số của tập hợp này là một số siêu hạn lớn hơn d. Chúng ta kí hiệu số này là c (Cantor gọi là số 1) . Như vậy ta có quyền nói có c điểm trên đoạn [0 ; 1],  có c điểm trên đoạn [a ; b] với mọi a < b. Người ta tin tưởng rằng c là số siêu hạn tiếp theo số d, có nghĩa là giữa hai số siêu hạn này không có số siêu hạn nào lớn hơn d mà nhỏ hơn c. Điều tin tưởng này được gọi là giả thuyết continuum, nhưng mặc dù nhiều nỗ lực, chưa có chứng minh nào để khẳng định điều đó hay bác bỏ nó. Mải đến 1963, Cohen của Đại học Stanford mới chứng minh được giả thuyết này độc lập với các tiên đề về lý thuyết tập hợp.

Có tồn tại số siêu hạn nào lớn hơn số c không? Các nhà toán học đã chứng minh rằng tập hợp mọi hàm số thực f(x) xác định trên (0 ; 1) có chính số lớn hơn c (số 2). Hay nói khác đi có  2  đường cong vẽ trên mặt phẳng (đó là đồ thị của hàm số f nói trên). Ta vẫn chưa biết số  2 có phải là số siêu hạn tiếp theo số c hay không.

Và câu hỏi sau đây là đương nhiên: “Có còn số siêu hạn nào lớn hơn 2 hay không ?” Và cũng chính Cantor trả lời là còn có vô hạn số siêu hạn, là hệ quả của định lí sau, goi là

Định lí Cantor: Cho tập hợp X, gọi P(X) là tập hợp các tập con của X, thế thì chính số của P(X) lớn hơn chính số của X.

Vào đầu thế kỷ 20, Hilbert tổng kết 23 bài toán nổi tiếng lúc đó vẫn chưa giải được, trong đó  giả thuyết về continuum.là bài toán đứng đầu danh sách. Chắc chắn không có lời tán dương nào cao quý hơn đối với công trình về số vô hạn của  Cantor bằng phát biểu của Hilbert: “Chúng ta sẽ không cho phép bất cứ ai xô đuổi chúng ta ra khỏi thiên đường mà Cantor đã sáng tạo ra.”