Nghiên Cứu Lịch Sử

SỰ GIẢI PHÓNG CỦA HÌNH HỌC (2)

 Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

 Trong bài trước, chúng ta thấy rằng, dù sau một nỗ lực kéo dài, Saccheri, Lambert và Legendre vẫn không thể tìm ra mâu thuẫn trong giả thuyết của góc nhọn. Không có gì ngạc nhiên khi họ đi đến kết quả này vì bây giờ chúng ta biết rằng tiên đề song song không thể suy ra từ các tiên đề và định lí đã có của hình học Euclid mà là độc lập với các tiên đề này. Phải có một óc tưởng tượng phi thường mới nghĩ đến khả năng đó, vì trong hơn hai ngàn năm, trí tuệ bị trói buộc trong thành kiến là chỉ có hình học Euclid là hình học thực sự duy nhất và một hệ thống hình học nào ngược với nó đều là không phù hợp.

Người đầu tiên nghi ngờ tính độc lập của tiên đề song song là Gauss (1777-1855), nhà toán học Đức, Bolyai (1802-1860), nhà toán học Hung, và Lobachevsky (1793-1856), nhà toán học Nga. Ba người này tiếp cận tiên đề song song một cách độc lập theo hướng phát biểu của Playfair bằng cách xét ba khả năng: Qua một điểm cho trước không ở trên một đường thẳng cho trước có thể kẻ được chỉ một, không, hay nhiều hơn một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước đó. Ba trường hợp này tương đương với giả thuyết góc vuông, góc tù, và góc nhọn. Với giả định như những người đi trước là đường thẳng có thể kéo dài đến vô cùng, trường hợp thứ hai dễ dàng bị loại bỏ. Việc bất thành khi loại bỏ trường hợp thứ ba, tuy nhiên, khiến mỗi người trong họ nghi ngờ rằng, tại những thời điểm khác nhau, tồn tại một hình học khác, có vẻ hơi kỳ cục nhưng thỏa mãn giả thuyết thứ ba, và người này, hoàn toàn không biết đến công việc của hai người kia, đã phát triển môn hình học mới này chỉ để thỏa mãn mối hứng thú của trí tuệ.

Gauss có lẽ là người đầu tiên thực sự nghĩ đến một hình học phi Euclid. Mặc dù ông chiêm nghiệm rất nhiều về vấn đề này ngay từ thời còn trẻ, nhưng chắc chắn chỉ khi đến đầu những năm 30 tuổi ông mới bắt đầu ngờ vực về tính độc lập của tiên đề song song đối với các tiên đề khác. Khổ thay, ông ta thất bại, và đến cuối đời không cho in phát hiện nào cả. Chỉ sau khi ông mất, qua thư từ để lại trao đổi với các bạn thân, chúng ta mới biết được các kết luận mới mẻ của ông. Mặc dù không chịu cho xuất bản những đóng góp toán học của mình, ông kêu gọi và khuyến khích người khác lao vào nghiên cứu vấn đề, và chính ông là người đặt tên cho môn hình học là phi Euclid.

Hiển nhiên người thứ hai thấy trước được môn hình học phi

Euclid này là Janos Bolyai, một viên chức Hung trong quân đội Áo     và là con nhà toán học Farkas Bolyai, một người bạn lâu năm của Gauss. Không nghi ngờ gì nữa, Bolyai đã nhận từ cha mình nguồn động viên để bắt tay vào việc nghiên cứu tiên đề song song ngay từ rất sớm. Từ năm 1823 Bolyai đã hiểu rõ bản chất của bài toán đang đặt ra cho mình, và một bức thư gởi đến cha trong năm đó đã nói lên nhiệt tình ông dành cho thách thức trước mặt.

Trong thư ông biểu lộ quyết tâm in cho bằng được một tiểu luận về lý thuyết đường song song ngay khi có thời gian và cơ hội sắp xếp các tìm tòi một cách mạch lạc, và ông hồ hỡi phát biểu, “Con đã phát hiện ra những điều quá phi thường khiến con phải choáng váng . . . Từ không có gì, con đã sáng tạo ra một vũ trụ mới mẻ và kì lạ.” Cha ông thúc giục ông cho in tiểu luận càng nhanh càng tốt, và hỗ trợ con trai bằng cách hứa in công trình này chung với tác phẩm của mình đang sắp hoàn tất trong phần phụ lục và để tên riêng.

Nhưng công việc tiến hành chậm hơn là chàng trai nghĩ nhiều, và cuối cùng vào năm 1829, anh cũng trao được bản thảo cho thân phụ, và ba năm sau, vào 1832, tiểu luận xuất hiện là phần phụ lục dày 26 trang trong tác phẩm của người cha. Bolyai sau đó không xuất bản thêm phát hiện gì nữa về lãnh vực này, nhưng để lại nhiều trang bản thảo liên hệ tới vấn đề.

Mặc dù Gauss và Bolyai được công nhận là những người đầu tiên thai nghén hình học phi Euclid, nhưng chính nhà toán học Nga Lobachevsky mới là người đầu tiên cho in một tác phẩm có hệ thống về phát hiện của mình về hình học này.

Lobachevsky trải phần lớn cuộc sống của mình ở đại học Kazan, lúc đầu là sinh viên, về sau là giáo sư toán, và cuối cùng là hiệu trưởng, và công trình sớm sủa của ông về hình học phi Euclid được xuất bản năm 1829-1830 trong tạp chí của trường, vài năm trước khi tiểu luận của Bolyai xuất hiện. Bài viết của ông ít gây chú ý ở Nga và, vì nó viết bằng tiếng Nga, cho nên càng không gây chú ý nào ở những phần khác của châu Âu.

Lobachevsky giới thiệu công trình mình với các nhà xuất bản khác. Để đến được số độc già đông hơn, ông in vào năm 1840 một cuốn sách nhỏ bằng tiếng Đức tựa là Các Nghiên Cứu Hình Học Về Lý Thuyết Đường Song Song, và rồi sau đó, năm 1855, một năm trước khi   mất và sau khi đã mù, ông cho in bằng tiếng Pháp một tiểu luận  rút gọn  và  cuối cùng  có  tên Pangeométrie.

Công  trình của Lobachevsky chỉ đến tay Gauss khi có bản in tiếng Đức vào năm 1840, còn Bolyai chỉ biết đến nó vào năm 1848. Ông thay thế tiên đề song song bằng tiên đề sau :

“Qua một điểm cho trước không nằm trên một đường thẳng cho trước, tồn tại ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy”

Ông phát triển nhiều đẳng thức lượng giác trong hình học của mình và chứng tỏ rằng khi tam giác nhỏ dần thì các đẳng thức lượng giác ấy càng giống với các đẳng thức lượng giác quen thuộc trong hình học Euclid.

Lobachevsky không còn sống để thấy công trình mình được ca ngợi khắp mọi nơi, nhưng hình học phi Euclid mà ông phát triển ngày nay được mang tên ông, hình học Lobachevsky, và tước hiệu “Copernic của hình học” đã được gán cho ông.

Vài năm sau sự xuất hiện của công trình Lobachevsky và Bolyai, thế giới toán học mới tỏ ra quan tâm nhiều với hình học phi Euclid, và phải qua vài thế hệ nữa sự phát hiện đó mới được đánh giá đầy đủ.

Một vấn đề nữa phải được hoàn thiện là chứng minh cho được tính nhất quán nội tại của hình học mới. Mặc dù Lobachevsky và Bolyai không gặp mâu thuẫn nào trong sự nghiên cứu và phát triển của mình về hình học này dựa vào giả thuyết góc nhọn, nhưng vẫn còn có khả năng một mâu thuẫn hoặc một sự không nhất quán sẽ nảy sinh nếu ta nghiên cứu xa hơn, sâu hơn. Sự độc lập thực sự của tiên đề song song với các tiên đề khác không thể công nhận mà không nghi vấn đến khi nào mà tính nhất quán của giả thuyết góc nhọn được thiết lập. Những chứng minh không lâu sau đó đã được Beltrami, Cayley, Klein, Poincaré . . . cung cấp. Phương pháp là xây dựng một mô hình của hình học mới bên trong hình học Euclid, sao cho sự phát triển trừu tượng của giả thuyết góc nhọn sẽ được gán cho một biểu thị trong không gian Euclid. Như thế bất cứ sự không nhất quán nào trong hình học phi Euclid sẽ bộc lộ một sự không nhất quán trong hình học Euclid. Phép chứng minh nhất quán là chúng mình tính nhất quán tương đối; hình học phi Euclid của Lobachevsky được chứng tỏ là nhất quán nếu hình học Euclid nhất quán, và lẽ dĩ nhiên, mọi người đều tin tưởng hình học Euclid là nhất quán.

Những thành quả của tính nhất quán của hình học phi Euclid không chỉ là sự giải quyết rốt ráo vấn nạn tiên đề về song song, mà quan trọng hơn, là sự giải phóng hình học khỏi khuôn mẫu truyền thống. Các tiên đề hình học, đối với các nhà toán học, giờ đây chỉ là những giả thuyết mà chân lý hoặc ngụy lý vật chất không phải là mối quan tâm của họ, miễn là chúng nhất quán với nhau. Một tiên đề từ đây không cần phải “ hiển nhiên” hoặc “dễ thấy”, hoặc phù hợp với kinh nghiệm ở không gian vật lý mà nhà toán học đang sống. Toán học từ rày chỉ là một sáng tạo ngẫu hứng của trí tuệ con người chứ không phải là một sản phẩm do nhu cầu thực tại của phạm trù ngoại giới.

Sự sáng tạo của hình học phi Euclid, bằng cách đạp đổ tín điều truyền thống và phá vỡ thói quen suy nghĩ hàng thế kỉ, đánh một đòn trí mạng vào cái gọi là quan điểm chân lý tuyệt đối của toán học. Và như lời của Georg Cantor, “Tinh túy của toán học nằm trong tính tự do của nó”.

Chúng ta đã thấy rằng giả thuyết góc tù đã bị loại bỏ bởi tất cả những nhà toán học tiên phong nghiên cứu về tiên đề song song bởi vì nó mâu thuẫn với giả định là một đường thẳng có độ dài vô cùng. Sự công nhận một hình học phi Euclid thứ hai, xây dựng trên giả thuyết góc tù, chỉ được nghĩ đến khi Riemann (1826-1866) vào năm 1854 lí giải sự khác nhau giữa khái niệm vô hạn và vô cùng (boundlessness và infiniteness). Mặc dù tiên đề 2 của Euclid công nhận rằng một đường thẳng có thể kéo dài mãi mãi về hai phía, nhưng không ám chỉ là độ dài của nó là vô cùng mà chỉ là nó vô hạn. Lấy ví dụ một cung của một đường tròn lớn nối hai điểm trên mặt cầu.

Cung này có thể kéo dài ra mãi mãi dọc theo đường tròn lớn nên có thể coi là vô hạn nhưng rõ ràng độ dài nó không phải là vô cùng. Đường thẳng cũng mang khái niệm như vậy, nghĩa là sau khi được kéo dài, nó có thể trở lại thành chính nó. Sau khi đã phân biết hai khái niệm này, Riemann xây dựng một hình học mới thỏa mãn giả thuyết góc tù bằng cách đổi lại các tiên đề 1, 2, 5 như sau:

1’. Hai điểm phân biệt xác định ít nhất một đường thẳng. 2’. Một đường thẳng thì vô hạn.

5’. Bất kì hai đường thẳng nào trong mặt phẳng cũng cắt nhau.

Hình học phi Euclid thứ hai này gọi là hình học Riemann.

Nếu đọc cẩn thận những phát biểu của Euclid trong tiên đề 1, 2, (xem bài 26), ta sẽ thấy rằng nội dung không khác với tiên đề 1’ và 2’, mặc dù Euclid ngầm ám chỉ nhiều hơn thế. Ông ám chỉ tiên đề 1 tính duy nhất của đường thẳng qua hai điểm và ám chỉ tiên đề 2 sự vô cùng của đường thẳng bởi vì ông sử dụng những tiên đề này theo các nghĩa như thế, mặc dù phát biểu hai tiên đề này của ông không được rõ ràng.

Với sự giải phóng hình học của Lobachevsky và Riemann khỏi những ràng buộc truyền thống, con đường đã mở cho sự sáng tạo của một loạt các hình học thú vị khác, tất cả đều dựa trên các bộ tiên đề khác ít nhiều với tiên đề của Euclid. Trong số này phải kể đến hình học phi Archiemedes, hình học phi Desargue, hình học phi Riemann, hình học hữu hạn (trong đó chỉ chứa một số điểm, đường hữu hạn) . . .

Những hình học mới này tưởng là trừu tượng và vô dụng nhưng thật ra cũng tìm được tiếng nói trong thế giới thực tại. Ví dụ, trong khi nghiên cứu về thuyết tương đối, Einstein nhận ra rằng mình  phải công nhận hình học phi Euclid mới có thể mô tả được thế giới vật lý mà thuyết này hoạt động- đó chính là hình học Riemann mà ta đã nói ở trên. Trong không-thời gian của ông, đường thẳng là đường truyền của ánh sáng, nếu ta tạo một tam giác bằng 3 tia sáng nối 3 điểm trong vũ trụ các thiên hà thì tổng ba góc của tam giác ấy lớn hơn 180^o. Hiện tượng này đã được các nhà thiên văn kiểm chứng vào năm 1919. Thêm nữa, một nghiên cứu tiến hành trong năm 1947 về không gian thị giác (không gian được quan sát một cách tâm lí bởi những người có thị giác bình thường) đưa đến kết luận là không gian này chỉ có thể mô tả chính xác nhất bằng hình học Lobachevsky. Cũng nhớ rằng trong hình học Lobachevsky, tổng ba góc của tam giác nhỏ hơn 180^o

Chắc chắn sự phát hiện cách mạng của Lobachevsky và Riemann về hình học phi Euclid được xứng đáng vinh danh là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC, và chúng ta có thể hiểu tại sao Cassius Keyser đã tuyên bố là tiên đề song song của Euclid “có lẽ là một phát biểu ngắn ngủi và lừng danh nhất trong lịch sử khoa học.”

Ta kết thúc bài viết này bằng một câu chuyện thú vị về Riemann. Khi ông nộp đơn xin một chân giảng dạy tại Đại học Gottingen danh giá, theo thông lệ, ông phải trình lên ba đề tài để thuyết trình, trong đó  hội đồng giảng huấn sẽ chọn ra một. Vì cho rằng thông thường đề tài thứ nhất, cùng lắm là thứ hai, hay được hội đồng chọn ra, nên ông đầu tư rất kỹ hai đề tài đầu tiên, còn đề tài thứ ba ông chỉ mới phát triển sơ sài.

Nhưng rủi thấy, đề tài thứ ba có tựa đề Bàn về các Định Đề thuộc Nền Tảng Hình Học lại được chọn. Lý đó là chủ tịch hội đồng giảng huấn lại chính là Gauss, người đã từng suy tư về đề tài này trong mấy mươi năm, muốn biết chàng trai Riemann xuất sắc khai phá được gì, nên đã chọn đề tài thứ ba. Thế là trong 11 giờ liên tục sau đó, ông hì hục điên cuồng lao vào công việc để kịp hoàn thành và trình bày trước hội đồng Gottingen và  thế giới, bài thuyết giảng thứ ba. Bài thuyết trình hóa ra là một tuyệt tác về phương diện toán học và giải trình. Nó cách mạng việc nghiên cứu hình học, và từ đó trở thành bài viết đơn lẻ  phong phú nhất với độ dài tương đối trong toàn bộ lịch sử toán học.

Trong phần kết luận, Riemann cáo lỗi vì đã trình bày một chủ đề tưởng như vô dụng,  nhưng ông nói, giá trị của việc nghiên cứu như thế có lẽ nằm trong khả năng giải phóng chúng ta khỏi những ý tưởng sẵn có và biết đâu sẽ đến lúc khi các khám phá vật lý có thể đòi hỏi một hình học khác với hình học Euclid. Những lời phát biểu mang tính tiên tri này đã được ứng nghiệm khoảng 50 năm sau khi ông mất qua thuyết tương đối rộng của Einstein.