Nghiên Cứu Lịch Sử

 Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

1. Những vết gạch và tiếng gầm gừ

Trong huyền thoại của Homer, anh hùng Ulysses rời đảo Cyclops sau khi làm mù gả khổng lồ một mắt. Gã bất hạnh này sáng sáng ngồi trước cửa hang và dùng các hòn sỏi để đếm số cừu ra khỏi hang, cứ mỗi con bước ra, gã ném một hòn sỏi sang một bên.

Rồi chiều, khi đàn cừu về hang, mỗi con bước vào, gã lại lấy bớt một hòn sỏi từ đống sỏi thu được ban sáng. Bằng cách này, nếu số sỏi ban sáng hết sạch, gã có thể tin chắc số cừu đã về hết, không có con nào đi lạc.

Truyện gã khổng lồ một mắt này chắc chắn là câu chuyện xưa nhất đề cập đến sự tương ứng một – một, là cơ bản của phép đếm. Nguyên tắc nầy có nhiều minh họa khác. Chẳng hạn, thổ dân da đỏ Bắc Mỹ muốn đếm số kẻ thù mà y đã kết liễu, y lột da đầu họ. Còn những thợ săn Phi Châu thời tiền sữ thì giữ lại một răng nanh cho mỗi con heo rừng mà họ giết được. Những thiếu nữ chưa lập gia đình của bộ lạc Masai cư ngụ trên triền núi Kilimanjaro mang vòng bằng đồng quanh cổ, số vòng bằng với số tuổi của họ. Những chủ quán rượu Anh ngày xưa dùng các vệt phấn trên bảng để ghi số lần uống của các thực khách. Những cư dân Peru thưỏ trước dùng các sợi thừng có thắt nút với nhiều màu sắc khác nhau để đếm dân sô trong làng.

Và lẽ dĩ nhiên, các học sinh ngày nay đếm xem còn bao nhiêu ngày nữa thì đến Noel bằmg cách đếm ngày trên tờ lịch. Và hầu như mỗi người, ít nhất đã có một lần, dùng ngón tay để đếm một số gì đó.

Vật tạo tác có ý nghĩa toán học xưa nhất tìm được là một tay cầm bằng xương, trên đó có các vết khắc sâu theo một dạng thức toán học xác định, với một mảnh thạch anh sắc bén dùng để khắc được gắn trong một khe ở đầu cán. Công cụ này được gọi là xương Ishango, được tìm thấy bởi nhà khảo cổ Jean de Heinzelin trong làng đánh cá ở Ishango, trên hồ Edward thuộc Cộng Hoà Congo, có niên đại khoảng giữa 9000 và 6500 trước Công Nguyên.

Chắc chắn thời khắc trọng đại xưa nhất của toán học xảy ra khi, cách đây vài ngàn năm, những người nguyên thủy bắt đầu học ghi lại số vật dụng nào đó bằng các vết gạch trên mặt đất hay trên đá. Rồi xã hội tiến hóa đến mức phải cần một qui trình đếm. Một bộ lạc, một thị tộc hoặc một gia đình phải phân chia lương thực giữa những người trong cộng đồng, hoặc phải ghi lại số đầu gia súc của mình. Qui trình đó là dùng những lằn gạch tạo sự tượng ứng một – một với số đơn vị của cải và chắc chắn khởi thủy của khoa học về chữ viết về sau này mới xuất hiện.

Thật hợp lí khi giả định rằng với số lượng nhỏ, người ta đếm bằng ngón tay dơ lên hay chỉa xuống. Với số lượng lớn hơn thì người ta dùng sỏi hoặc thẻ, hoặc bằng những nét gạch trên mặt đất hay đá, hay bằng vết cắt trên xương hay mặt gỗ, hay những thắt nút trên dây thừng. Đến một lúc nào đó, con người dùng những tiếng gầm gừ nhất định để chỉ một số lượng nào đó. Và về sau những chữ số được nghĩ ra để thay thế những từ chỉ số lượng.

Mặc dù quá trình phát triển kỷ năng đếm của người nguyên thủy chỉ là ức đoán, nhưng nó được củng cố bởi những báo cáo của những nhà khảo cổ khi nghiên cứu các tộc nguyên thủy còn sống ngày nay và những đồ tạo tác đào được trong một số đia điểm trên thế giới. Đó cũng là qui trình mà trẻ con ngày nay còn dùng để bắt đầu học đếm.

Trong những thời kì khởi đầu của việc đếm bằng tiếng nói, người ta dùng những tiếng khác nhau để chỉ cùng một số lượng, chẳng hạn hai con cừu và hai người, chữ hai trong hai tình huống này lại nói bằng hai từ khác nhau. Hiện tượng này có thể tìm thấy trong ngôn ngử, chẳng hạn trong tiếng Anh, ta có nhiều chữ khác nhau đều có nghĩa là hai : team of horses (2 ngựa trong một xe), span of mules ( cặp lừa), yoke of oxen (đôi bò), brace of partridge (cặp gà gô), pair of shoes (đôi giày). Cái từ biểu thị tính trừu tượng cao nhất là số 2, độc lập với bất cứ sự vật cụ thể nào đi kèm, phải rất lâu mới xuất hiện.

Mối liên hệ của những từ chỉ số đếm với các vạch ghi vẫn còn kéo dài đến ngày nay trong một số bộ lạc nguyên thủy. Chẳng hạn trong ngôn ngử của bộ tộc Papuan ở Tân Guinea, một người nghĩa là 20, hai bàn tay nghĩa là mười, một bàn tay là năm… Bộ lạc Kamayura ở Nam Mỹ lấy từ “ngón giữa” để chỉ số 3. Họ sẽ nói : “ngón giữa ngày” để nói “ba ngày”. Còn thổ dân Dene-Dinje của Nam Mỹ, có thói quen đếm bằng cách gấp ngón tay lại, sẽ nói như sau để chỉ số đếm :

“một ” – ” ngón út gấp lại”

“hai” – ” ngón út và áp út gấp lại”

“ba” – “ngón út, áp út và ngón giữa gấp lại” “bốn” – ” bốn ngón trừ ngón cái gấp lại” “năm” – năm ngón đều gấp lại”

” mười” – hai bàn tay đều nắm lại”

Đối với thổ dân Mandigo của Tây Phi để chỉ “chín” họ dùng từ “kononto”, có nghĩa là “như thằng nhỏ trong bụng” – ý họ muốn nói chín tháng cưu mang. Giai đoạn cụ thể trong quá trình đếm cũng hiển nhiên trong ngôn ngử Malay và Azted, trong đó các chữ “một”, “hai”, “ba” lần lượt là ” một sỏi”, “hai sỏi”, “ba sỏi”. Tương tự đối với dân Niuès của Nam Thái Bình Dương, ba từ chỉ các chữ số đầu tiên là “một trái”, “hai trái”, “ba trái”. . . Có những thứ ngôn ngử dáng điệu được dùng để chỉ những chữ số, chẳng hạn bộ tộc Papuan, muốn chỉ những con số cụ thể, họ sẽ chỉ những bộ phận khác nhau trên cơ thể.

1: ngón út phải          12: mũi

2: ngón áp út phải    13: miệng

…         …..                    14: tai trái

5: ngón cái phải         …….     …

6: cổ tay phải

7: khuỷu tay phải

 8: vai phải

9: tai phải

10: mắt phải

11: mắt trái          22: ngón út trái

Trong các bộ tộc nguyên thủy, cũng như giữa những người sành điệu thời hiện đại, người ta thường dùng lời lẽ để đếm kết hợp với dáng điệu của bàn tay. Chẳng hạn, trong vài bộ lạc, khi nói “mười” thường kèm theo hai bàn tay vỗ vào nhau, còn “sáu” thì đi kèm với động tác bàn tay này vuốt nhanh lên bàn tay kia. Nhà nhân chủng học Karl Menninger từng nói đôi khi chỉ quan sát cách đếm bằng ngón tay của thổ dân cũng có thể biết họ thuộc sắc dân nào, chủng tộc nào.

Nhà văn Anh Mason có kể một giai thoại ngồ ngộ trong thế chiến II. Một thiếu nữ Nhật đang sống ở Ấn, lúc đó đang có chiến tranh với nước Nhật. Để tránh tình huống rắc rối có thể xảy ra, bạn cô giới thiệu cô là một người Trung Hoa với một cư dân người Anh ở Ấn. Ông này nghi ngờ bèn hỏi cô hảy thử đếm đến năm bằng ngón tay của mình. Cô này, sau một chút do dự, làm theo lời ông ta. Rồi:

Thấy thế, ông Headley bổng cười lớn: “Đó, cô thấy không! Cô có thấy cách cô ta đếm đó không? Cô ta mở lòng bàn tay và gấp từng ngón tay vào để đếm. Cô có thấy người Trung quốc nào đếm như thế không? Không bao giờ! Người Trung quốc đếm như người Anh. Bắt đầu với bàn tay nắm lại. Như vậy cô ta là Nhật!” ông ta cười lên đắc thắng.

Khái niệm tương ứng một – một đã được coi là căn bản của phép đếm tập hợp những số hữu hạn. Trong loạt bài phần lớn in trong tạp chí toán học Mathematische bắt đầu từ năm 1874, nhà toán học Đức Georg Cantor cũng áp dụng khái niệm trên để “đếm” những số vô hạn và nhờ đó đã sáng tạo ra lý thuyết lừng danh về các số siêu hạng. Nhưng đây là chuyện của tương lai, là một thời khắc trọng đại của TOÁN học chỉ xảy ra gần đây, và sẽ được bàn đến trong một kỳ tới.

Sự tiến hóa của các chữ số