Nghiên Cứu Lịch Sử

16. HÌNH ẢNH ĐỘNG SO VỚI HÌNH ẢNH TĨNH

 Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

 Động lực chính thúc đẩy việc phát minh ra các quy trình toán học mới là sự xuất hiện của các bài toán mà lời giải của chúng tránh được mũi tấn công của các phương pháp toán học đã biết. Quả thực, sự xuất hiện liên tục của các bài toán chưa  giải quyết được chính là nguồn huyết quản duy trì sức khỏe và sự tăng trưởng của toán học. Trong bài giảng trước, chúng ta đã thấy một ví dụ về điều này – đó là một bài toán mới mẻ khó nắm bắt,  bài toán tính tỉ số chia tiền cược, dẫn đến việc hình thành lĩnh vực xác suất toán học.

Trong các bài giảng trước, ta đã thấy rằng bài toán tìm diện tích, thể tích và độ dài cung  đã làm xuất hiện các tiến trình tính tổng dẫn đến việc phát minh phép tính tích phân. Trong bài giảng này chúng ta sẽ thấy rằng bài toán vẽ tiếp tuyến của đường cong và bài toán tìm giá trị cực đại và cực tiểu của các hàm số đã dẫn đến việc sáng  tạo ra phép tính vi phân. Mỗi sáng tạo này chắc chắn tạo nên một THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI TRONG TOÁN HỌC.

Điều thú vị là, cho dù  nguồn gốc của phép tính tích phân xuất hiện từ thời Hy Lạp cổ điển, nhưng phải đến thế kỷ XVII, chúng ta mới tìm thấy những đóng góp đáng kể cho phép tính vi phân. Không phải là trước đây không có nỗ lực trong việc vẽ tiếp tuyến các đường cong và không phải không có việc vận dụng trước đây các phép tính cực đại và cực tiểu. Ví dụ, người Hy Lạp thời cổ đại đã có thể vẽ các tiếp tuyến của đường tròn và đường conic. Apollonius, trong Thiết Diện Conic của mình, đã coi pháp tuyến của cônic vẽ từ một điểm là các đoạn thẳng ngắn nhất và dài nhất được vẽ từ điểm đó đến đường cong, và những nhận định cực đại và cực tiểu khác có thể được tìm thấy trong các tác phẩm của người Hy Lạp cổ đại. Một lần nữa, nhiều thế kỷ sau, một cách tiếp cận tổng quát hơn để vẽ tiếp tuyến với các đường cong đã được Gilles Per-Sone de Roberval (1602-1675) đưa ra. Ông coi đường cong sinh ra bởi một điểm mà chuyển động của nó được kết hợp từ hai chuyển động đã biết. Khi đó tổng hợp các vectơ vận tốc của hai chuyển động đã biết sẽ tạo thành đường tiếp tuyến với đường cong. Ví dụ, trong trường hợp của một parabol, chúng ta có thể coi hai chuyển động là khoảng cách đi xa tiêu điểm và đi xa đường chuẩn. Vì khoảng cách của điểm chuyển động đến tiêu điểm và đường chuẩn luôn bằng nhau (do định nghĩa của parabol) nên vectơ vận tốc của hai chuyển động cũng phải có độ lớn bằng nhau. Theo đó, tiếp tuyến tại một điểm của parabol chia đôi góc tạo bởi đoạn thẳng nối điểm tới tiêu điểm và đoạn vuông góc từ điểm đó với đường chuẩn (xem Hình 2). Ý tưởng này về các tiếp tuyến cũng được đưa ra bởi Evangelista Torricelli (1608-1647), và một cuộc tranh luận đã xảy ra sau đó giữa Roberval và Torricelli xem ai là người đã phát minh ra trước. Tuy nhiên, điều hấp dẫn của phương pháp là có vẻ nó không.mấy thực dụng

Hình 2

Một phương pháp khác để xây dựng tiếp tuyến một số  đường cong được René Descartes trình bày trong phần thứ hai của cuốn La géométrie (Hịnh Học) năm 1637. Mặc dù ông đã áp dụng phương pháp của mình cho một số đường cong, bao gồm một đường bầu dục bậc bốn mang tên ông *, phương pháp này bị giới hạn ở các đường cong đại số và thậm chí ở đó, nó quá thường xuyên đòi hỏi một kỹ năng đại số kinh khủng.

Chú thích *: Đường oval Cartesian là tập hợp những điểm mà khoảng cách r₁ và r₂ từ điểm đó đến hai điểm cho trước thỏa r₁ + m r₂ = a, trong đó m và a là hai hằng số cho trước. Đường elip là thuộc dạng này với m = 1.

Không có phương pháp nào ở trên có thể ứng dụng tổng quát và cũng không có phương pháp nào chứa quy trình lấy vi phân. Nỗ lực thực sự nổi bật đầu tiên về phép tính vi phân sự khởi phát từ những ý tưởng do Fermat đưa ra vào năm 1629, mặc dù không được công bố rộng rãi cho đến khoảng tám hoặc chín năm sau. Kepler đã quan sát thấy rằng số gia của một hàm trở nên vô cùng nhỏ trong lân cận của điểm cực đại hoặc cực tiểu thông thường. Fermat chuyển thực tế này thành một quá trình xác định giá trị cực đại hoặc cực tiểu đó. Tóm lại phương pháp của ông là thế này. Nếu f(x) có cực đại hoặc cực tiểu thông thường tại x, và nếu e rất nhỏ thì giá trị của f(x + e) ​​gần bằng giá trị của f(x). Do đó, chúng ta tạm đặt f(x + e) ​​= f(x) và sau đó làm cho đẳng thức đúng bằng cách cho e  giá trị bằng 0. Các nghiệm của phương trình thu được sau đó cho các giá trị của x tại đó f(x) đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.

Chúng ta hãy  minh họa và làm rõ quy trình này bằng cách xem xét ví dụ đầu tiên của Fermat  – chia một số lượng thành hai phần sao cho tích của chúng là lớn nhất. Fermat đã sử dụng ký hiệu Viète, trong đó các hằng số được ký hiệu bằng các phụ âm viết hoa và các biến bằng các nguyên âm viết hoa. Sử dụng ký hiệu này, gọi B là đại lượng đã cho và ký hiệu hai phần chia ra là  A và B – A cần tìm. Lập tích

(A+E)[B-(A+E)]

và đánh đồng nó với A(B – A) ta có

A(B – A) = (A+E)[B-(A+E)]

hoặc

BE – 2AE – E² = 0

Sau khi chia cho E, ta thu được

B -2A – E= 0

Bây giờ cho  E = 0, chúng ta thu được: 2A = B.

Tức hai phần chia ra phải bằng nhau thì tích của chúng mới lớn nhất. Chẳng hạn, có vô số cách chia số 12 ra hai phần như 1 và 11, 2 và 10, 5 và 7 . . . lần lượt có tích là 11, 20, 35 . . .Nhưng chia ra hai phần bằng nhau là 6 và 6 thì mới được tích là số lớn nhất 36.

.Mặc dù logic trong cách trình bày của Fermat còn nhiều điều chưa thỏa đáng, ta thấy rằng phương pháp của ông tương đương với việc thiết lập nghĩa là đặt đạo hàm của f(x) bằng 0. Đây là phương pháp thông thường để tìm cực đại và cực tiểu thông thường của hàm f(x), và đôi khi được gọi trong sách giáo khoa toán học của chúng ta là phương pháp Fermat. Tuy nhiên, Fermat đã không nhận ra rằng sự triệt tiêu của đạo hàm của f(x) chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ cho một cực đại hoặc cực tiểu thông thường. Ngoài ra, phương pháp Fermat không phân biệt giữa cực đại và cực tiểu.

Fermat cũng nghĩ ra một quy trình chung để tìm tiếp tuyến tại một điểm của đường cong có phương trình Descartes cho trước. Ý tưởng của ông là tìm tiếp ảnh (suntangent) HT tại một điểm M trên đường cong, tức là đoạn trên trục x giữa hình chiếu H của điểm M lên trục x với giao điểm T của đường tiếp tuyến tại M với trục x. Phương pháp này sử dụng ý tưởng tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến MN khi N (một điểm gần M trên đường cong) tiến gần đến M. Sử dụng ký hiệu hiện đại, phương pháp này như sau. Giả sử phương trình của đường cong (xem Hình 3) là f(x,y) = 0, và chúng ta hãy tìm tiếp ảnh HT  tại điểm M(x, y) của đường cong. Bằng các lập tỉ số cạnh tương ứng các tam giác đồng dạng ta dễ dàng tìm được độ dài của đoạn PK, và tọa độ điểm P là:

[x+e, y (1+e/t)]

Khi điểm N tiến dần đến M thì điểm P cũng đến gần điểm  N, như thế có thể coi P như nằm trên đường cong, cho chúng ta

f[x +e, y(1 + e/t)] = 0

Hình 3

Sau đó, đẳng thức được sửa lại đúng bằng cách cho e nhận giá trị bằng 0. Từ đó, giải phương trình thu được ta tìm được tiếp ảnh t theo tọa độ x và y của tiếp điểm M. Tất nhiên, điều này tương đương với việc thiết lập một công thức tổng quát xuất hiện sau đó vào năm 1652, tất nhiên là không có ký hiệu hiện đại như trên, trong tác phẩm của René François Walter de Sluze (1622-1685), một giáo sĩ trong Giáo hội, người đã viết nhiều chuyên luận về toán học.

Nếu đường cong là đồ thị hàm số y = f(x) thì cộng thức trên trở thành:

y/ t = df/dx

Tức  tan u = df/dx, trong đó u là góc hợp bởi tiếp tuyến với trục hoành, một kết quả quen thuộc với học sinh trung hoc.

Fermat, bằng cách sử dụng phương pháp của mình, đã tìm ra các tiếp tuyến của các đường  elip, cycloid, cissoid, conchoid, quadratrix và folium của Descartes.

Chúng ta hãy minh họa phương pháp trên bằng cách tìm tiếp ảnh của đường folium của Descartes x³ + y³  = nxy

Đường cong x³ + y³  = 3xy

Với x³ + y³  = nxy, ở đây ta có:

Rồi chia cho e và cho e = 0, ta được:

Một người khác cũng góp phần vào khám phá phép vi phân là Isaac Barrow. Barrow sinh ra ở London vào năm 1630 và hoàn thành việc học tập của mình tại Đại học Cambridge. Ông là một người có trình độ học thuật cao, có thành tựu về toán học, vật lý, thiên văn học và thần học. Ông cũng nổi tiếng là một trong những học giả về Hy Lạp giỏi nhất vào thời đại mình. Ông là người đầu tiên đảm nhận chức vị chủ tịch Lucasian danh giá ở Cambridge, rồi vào năm 1669 ông đã hào phóng từ chức để nhường chức vị học thuật này  cho môn đệ vĩ đại của mình, Isaac Newton, người có những khả năng vượt trội mà ông là một trong những người đầu tiên phát hiện và thừa nhận. Ông mất tại Cambridge vào năm 1677.

Công trình toán học quan trọng nhất của Barrow là Các Luận đề về Quang Học và Hình Học, xuất hiện vào năm ông từ chức ghế chủ tịch tại Cambridge. Trong lời nói đầu của chuyên luận, ông thừa nhận mắc nợ Newton về một số nội dung của cuốn sách, có lẽ là những phần liên quan đến quang học. Chính trong cuốn sách này chúng ta tìm thấy một cách tiếp cận rất gần với quá trình tính  vi phân hiện đại, sử dụng cơ bản cái gọi là tam giác giác vi phân mà chúng ta tìm thấy trong các sách giáo khoa giải tích hiện nay. Giờ ta hãy đi tìm tiếp tuyến tại điểm P với đường cong trong Hình 4. Gọi Q là điểm lân cận điểm P. Khi đó các tam giác PTM và PQR gần như đồng dạng với nhau , và, Barrow lập luận, khi tam giác nhỏ trở nên nhỏ vô hạn, ta có

RP/QR= MP/TM.

Hình 4

Hãy đặt QR = e và RP = a. Thế thì nếu tọa độ P là x và y, thì tọa độ của Q là x – e và y – a. Thay thế các giá trị này vào phương trình của đường cong và bỏ qua bình phương và lũy thừa cao hơn của cả e và a, chúng ta tìm được tỉ số a/e. Sau đó chúng tôi có

OT = OM – TM

      = OM – MP(QR/RP)

      = x – y(e/a),

và đường tiếp tuyến được xác định.

*Cần lưu ý rằng a và e là  số gia của y và số gia của x theo quy ước hiện nay, do đó tỷ số a/e trở thành dy/dx khi e→ 0.

Barrow đã áp dụng phương pháp xây dựng tiếp tuyến này cho các đường cong:

(a) x²(x² + y²) = r²y² (đường cong kappa)

(b) x³ + y³ = r³ (đường cong Lamé đặc biệt)

(c) x³ + y³ = rxy (folium của Descartes, nhưng được Barrow gọi là  galande

(d) y = (r – x)tan(πx/2r) (đường quadratrix),

(e) y = r tan(πx/2r) (đường cong tiếp xúc).

Để minh họa, ta hãy áp dụng phương pháp này cho đường cong (b). Ở đây ta có

(x – e)³ + (y – a)³ = r³,

Hay

x³-3x²e + 3xe²– e³ + y³ – 3y²a + 3ya²– a³ = r³.

Bỏ qua bình phương và lũy thừa cao hơn của e và a, và sử dụng đẳng thức x³ + y³ = r³,  phương trình rút gọn thành

3x²e + 3y²a = 0,

từ đó ta có được

a/e = – x²/y²

Tất nhiên, tỷ số a/e này là dy/dx hiện đại của chúng ta, và quy trình đáng ngờ của Barrow có thể dễ dàng trở nên chặt chẽ bằng cách sử dụng các định lý về giới hạn. Với công trình của Fermat, Barrow và một số người cùng quan điểm với họ, tiến trình vi phân đã được phát triển và áp dụng để giải một số bài toán cực đại và cực tiểu cũng như để xây dựng các tiếp tuyến của nhiều đường cong. Còn những gì cần phải làm trong quá trình phát triển phép tính vi phân? Vẫn còn đó việc tạo ra một biểu tượng chung với một bộ quy tắc giải tích chính thức có hệ thống để tính đạo hàm, đồng thời cũng là sự tái phát triển nhất quán và chặt chẽ các nền tảng của chủ đề. Đây chính xác là việc khởi xướng đầu tiên phép tính vi phân phù hợp và khả thi, được Newton và Leibniz khám phá, hoàn toàn độc lập với nhau. Việc tái phát triển các khái niệm cơ bản trên một cơ sở chặt chẽ có thể chấp nhận được phải chờ đợi thời kỳ áp dụng mạnh mẽ chủ đề này và là công trình của nhà giải tích vĩ đại người Pháp Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) và những người kế tục ông ở thế kỷ 19. Câu chuyện này, một thời khắc trọng đại khác trong toán học, sẽ được kể trong bài giảng sau.

Người đầu tiên công bố một phép tính vi phân tổng quát và hiệu quả là nhà toán học và triết học vĩ đại người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Trên tạp chí Acta eruditorum năm 1684, trong một bài báo có tựa đề “Một phương pháp mới cho cực đại và cực tiểu cũng như các tiếp tuyến, không bị hạn chế bởi các đại lượng phân số hoặc vô tỷ, và một dạng phép tính đáng chú ý cho điều này”, Leibniz đã trình bày ngắn gọn. về phép tính vi phân của mình, mà ông nói đã phát hiện  từ năm 1676. Mặc dù có một số điểm khó hiểu và một số lỗi bất cẩn, bài báo đã chứng tỏ là một bước ngoặt trong bước tiến vượt bậc của toán học. Ký hiệu của phép tính vi phân và nhiều quy tắc chung để tính đạo hàm đang được sử dụng ngày nay đã được Leibniz đưa ra trong bài báo này. Leibniz đã viết như sau:

Cho một trục AX [xem Hình 5, là hình của Leibniz được đơn giản hóa và bổ sung một chút] và cho một số đường cong VV, WW, YY, ZZ, trong đó các tọa độ VX, WX, YX, ZX, vuông góc với trục, được gọi là v, w, y, z tương ứng. Đoạn AX bị cắt khỏi trục được gọi là x. Cho các tiếp tuyến lần lượt là VB, WC, YD, ZE cắt trục tại B, C, D, E. Bây giờ một đoạn chọn tùy ý được gọi là dx, và đoạn thẳng cùng với dx tỉ lệ với v (hoặc w, hoặc y, hoặc z) và XB (hoặc XC, hoặc XD, hoặc XE) được gọi là dv (hoặc dw, hoặc dy, hoặc dz), tức vi phân v (hoặc w, hoặc y, hoặc z).

Leibniz sau đó tiếp tục rút ra một số quy tắc vi phân quen thuộc, chẳng hạn như:

(1) Nếu a là hằng số thì da = 0.

(2) d(ax) = ad(x)

(3) d(w – y + z) = dw – dv + dz

(4) d(xⁿ) = nx^{n – 1} dx

. . . . .

Và các công thức mà mọi học sinh trung học ngày nay đều quen thuộc

Leibniz có tài chọn lựa ký hiệu thuận tiện. Ông không chỉ trao tặng cho chúng ta ký hiệu linh hoạt về phép tính vi phân được chúng ta sử dụng như hiện nay, mà vào năm 1675, ông còn giới thiệu ký hiệu tích phân hiện đại, là một chữ cái S dài bắt nguồn từ chữ cái đầu tiên của tiếng Latin, từ soma (tổng), để biểu thị tổng các số không thể chia được của Cavalieri. Mặc dù việc phát minh ra kí hiệu  về phép tính vi tích phân chỉ là công lao được ghi nhận cho Leibniz, nhưng  việc phát minh ra bản thân phép tính phải được chia sẻ cho nhà toán học và vật lý học kiệt xuất người Anh Isaac Newton ( 1643-1727). Trên thực tế, Newton đã nghĩ ra phép tính vi phân của mình, mà ông gọi là phép tính thông lượng, sớm hơn Leibniz nghĩ ra, nhưng ông đã không công bố công trình của mình cho đến tận năm 1687. Sự chậm trễ  này của Newton đã dẫn đến cuộc tranh cãi lớn nhất về ai mới là  chủ nhân của phát minh quan trọng này.

Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz

Sự thật của vụ án là như vầy. Newton đã phát triển phép tính thông lượng của mình ngay từ năm 1665, với ý định ban đầu là áp dụng cho các bài toán vật lý, và chỉ có một số đồng nghiệp thân thiết biết đến phát minh của ông. Nhiều năm sau, trong một bức thư gửi cho Leibniz qua Henry Oldenburg, thư ký của Hiệp hội Hoàng gia Anh, Newton đã mô tả ngắn gọn và có phần mơ hồ về phương pháp của mình, sau đó Leibniz, người vào thời điểm đó cũng đã phát triển phương pháp của riêng mình, trong một thư trả lời đã mô tả phép tính vi phân của mình cho Newton. Đến đây,  việc trao đổi thư từ chấm dứt. Trong những năm tiếp theo, phép tính vi phân của Leibniz được truyền đạt rộng rãi cho các nhà toán học hàng đầu của lục địa Châu Âu, họ  đã áp dụng nó cho nhiều bài toán khác nhau với các thành tưu nổi bật. Nhưng phải đến năm 1684, Leibniz mới thực sự cho in phát minh của mình, trong bài báo được trích dẫn ở trên và không đề cập đến thành tựu tương ứng của Newton. Do đó, Newton đã đề cập, trong chuyên luận khoa học vĩ đại Philosophiae Naturalis principia mathematica năm 1687 của mình, việc trao đổi thư từ đã diễn ra trước đó giữa hai người. Sau đó, những người đương thời và hậu bối của hai phe Newton và Leibniz bắt đầu một cuộc tranh cãi kéo dài việc ai mới là người phát minh đầu tiên phép tính vi tích phân, với những cáo buộc và phản bác về việc đạo văn, đôi lúc đến mức độ  thiếu tôn trọng và thoái hóa thành một tranh chấp chính trị giữa Anh và Đức.

Lòng tự hào của người Anh mạnh đến nỗi, gần một thế kỷ sau khi nổ ra tranh cãi, các nhà toán học Anh vẫn ngoan cố bám lấy thuật ngữ và ký hiệu rườm rà của Newton,  gây tổn hại nhiều đến toán học Anh. Nghiên cứu lịch sử đã kết luận rằng Newton và Leibniz, mỗi người tự mình đi theo những con đường khác nhau, nhưng  đã đạt đến cùng một mục tiêu và do đó hai người được coi là những nhà phát minh độc lập của phép tính vi phân.

Phương pháp tính toán của Newton là phương pháp vật lý. Ông mô tả đường cong được tạo ra bởi chuyển động liên tục của một điểm, có hoành độ và tung độ là những hàm số theo thời gian t. Ông gọi fluxient là một đại lượng thay đổi và tốc độ thay đổi của fluxient gọi là fluxion (thông lượng). Nên phép tính vi phân của ông được ông gọi là phép tính thông lượng. Ông đi tính tốc độ thay đổi của hoành độ và tung độ theo t, để suy ra tốc độ thay đổi của y theo x, mà ta biết đó là ý nghĩa cơ học của dy/dx . Nhưng ông sử dụng ký hiệu rườm rà, rất bất tiện, nên ngày này không ai sử dụng mà ưa chuộng thuật ngữ và ký hiệu mạnh mẽ của Leibniz hơn.

Sự sáng tạo phép tinh vi phân là một bước ngoặt trong lịch sử toán học. Nền toán học mới lấy cảm hứng từ phép tính này khác biệt đáng kể với nền toán học cũ kế thừa Hy Lạp cổ đại. Nền toán học cũ có vẻ tĩnh, còn Nền toán học mới rất năng động. Cho nên có thể ví hai nền toán học cũ mới như giai đoạn máy chụp ảnh và máy quay phim.  Một lần nữa, toán học cũ hơn quan tâm đến cái cố định và hữu hạn trong khi toán học mới bao hàm sự thay đổi và cái vô hạn.

Không cần phải nói, việc sáng tạo ra phép tính vi phân là một THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI TRONG TOÁN HỌC, và để công bằng cho tất cả những ai có công khai phá  liên quan, có lẽ nên gán nó cho thời kỳ bắt đầu từ những thành tựu ban đầu của Fermat vào năm 1629 cho đến công trình tạo nên kỷ nguyên của Newton và Leibniz hoàn thành hơn 50 năm sau đó. Chúng ta sẽ trở lại phép tính này trong bài giảng tiếp theo,