14. Kỹ thuật biến đổi-giải-đảo ngược

 Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

 Một trong những phương pháp hiệu quả nhất thường được các nhà toán học sử dụng được biết dưới tên: kỹ thuật biến đổi-giải-đảo ngược. Tinh túy của ý tưởng này là như sau. Để giải một bài toán khó, ta biến đổi nó thành một bài toán tương đương nhưng dễ hơn, sau đó giải bài toán đơn giản này, và rồi đảo ngược tiến trình biến đổi hóa để được lời giải của bài toán ban đầu.

Giả sử một người nào đó hỏi ta một câu hỏi bằng tiếng Pháp và chúng ta không thông thạo ngôn ngữ đó. Trước tiên chúng ta sẽ biến đổi câu hỏi gốc thành một câu hỏi tương đương bằng tiếng Việt, ngôn ngữ mà ta quen thuộc. Tiếp sau chúng ta giải câu hỏi này bằng tiếng Việt. Cuối cùng ta đảo ngược lời giải từ Việt sang Pháp, và như thế là đã giải được câu hỏi gốc.

Một ví dụ nữa, già sử ta phải tìm một số viết bằng chữ số La mã là tích của hai số viết bằng chữ số La mã là LXIII và số XXIV. Chúng ta phải biến đổi hai số này ra dạng chữ số Ả rập-Ấn, đó là 63 và 24. Sau đó ta giải bài toán nhân quen thuộc và được số 1512. Cuối cùng chúng ta đảo ngược đáp số về lại dạng La mã và được MDXII.

Một ví dụ sành điệu hơn, là bài toán chứng minh phương trình x⁷ – 2x⁵ + 10 x² – 1 = 0 không có nghiệm lớn hơn 1. Bằng cách thế x = y + 1, ta biến đổi thành phương trình tương đương:

y⁷ + 7y⁶ + 19y⁵ + 25y⁴ + 15y³ + 11y² + 17y + 8 = 0

Điều phải chứng minh bây giờ là chứng minh   phương trình theo y không có nghiệm dương. Điều này là hiển nhiên vì vế trái > 0 với mọi y > 0. Cuối cùng đảo ngược phép biến đổi để được phương trình ban đầu không có nghiệm x > 1.

Ví dụ cuối cùng, giả sử chúng ta phải chứng minh rằng (xem hình) diện tích của tam giác cong giới hạn bởi ba êlip bằng nhau, có các trục cùng hướng và tiếp xúc nhau từng đôi một thì độc lập với vị trí tương đối của ba êlip. Chúng ta biết rằng bằng một phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng đường êlip sẽ biến thành đường tròn có bán kính bằng nửa trục nhỏ của êlip.

Chúng ta hãy biến đổi bài toán trên qua phép chiếu sẽ có ba đường tròn bằng nhau tiếp xúc nhau đôi một. Hơn nữa phép chiếu vuông góc biến hai hình có diện tích bằng nhau thành hai hình có diện tích bằng nhau, do đó ta chỉ cần chứng minh diện tích của tam giác cong độc lập với vị trí tương đối của ba đường tròn bằng nhau và tiếp xúc nhau. Điều này là hiển nhiên. Cuối cùng, ta đảo ngược phép chiếu để được lời giải của bài toán ban đầu.

Tiến trình trên không chỉ dùng để giải các bài toán mà còn dùng để khám phá các sự kiện mới. Chúng ta biến đổi một cơ cấu toán học cho trước thành một cơ cấu mới. Bằng cách khảo sát cơ cấu mới, chúng ta phát hiện vài tính chất của nó. Rồi chúng ta đảo ngược phép biến đổi để có tính chất tương ứng của cơ cấu ban đầu. Kỹ thuật này được các nhà toán học ưa dùng, có thể gọi tên là kỹ thuật biến đổi-khám phá- đảo ngược.

Trở lại ví dụ cuối cùng vừa nêu, ta nhớ rằng qua phép chiếu p, một diện tích A sẽ thành một diện tích A’ = Acosθ với θ là góc của mặt phẳng chứa hình A và mặt phẳng chiếu. Trong phép chiếu hình elip có nửa độ dài hai trục là a và b thì góc chiếu là cosθ = b/a. Gọi A và A’ là diện tích tam giác cong trước và sau khi chiếu, theo hình học sơ cấp ta có :

Chúng ta đã khéo léo tìm được diện tích tam giác cong giới hạn bởi các elip.

Một thành quả vĩ đại nhất, phong phú nhất và được phát triển đến cấp độ cao nhất sinh ra từ kỹ thuật giải-đảo ngược mà các nhà toán học đã phát minh ra chính là môn hình học giải tích. Ít có kinh nghiệm học tập nào gây ấn tượng hơn cho học sinh trung học khi lần đầu được tiếp xúc với phương pháp mới mẻ và đầy uy lực của môn học này và sử dụng để giải những bài toán hình học cổ điển – bởi vì thật ra hình giải tích là một phương pháp hình học hơn là một ngành hình học.

Tinh túy của phương pháp này, nếu xét trên mặt phẳng, như chúng ta nhớ lại, là việc tương ứng một cặp số thực với một điểm trong mặt phẳng, từ đó tương ứng một đường cong trong mặt phẳng với một phương trình giữa hai biến, nghĩa là với mỗi đường cong trong mặt phẳng có một phương trình hoàn toàn xác định f(x,y) = 0, và ngược lại. Từ đó một tính chất giải tích hay đại số của phương trình f(x, y) = 0 sẽ tương ứng một tính chất hình học của đường cong liên kết. Nhiệm vụ đi chứng minh một định lí hình học biến thành việc đi chứng minh một định lí đại số hay giải tích. Và hơn nửa, một kết quả đại số hay giải tích ngược lại dẫn đến một phát hiện hình học mới mẻ và bất ngờ. Hình giải tích do đó đã trở thành một phương pháp vô cùng hiệu suất, vừa để giải toán vừa để tìm ra những kết quả mới trong hình học.

Giữa các nhà viết sử không có nhất trí cao khi vinh danh người đầu tiên phát minh môn hình giải tích cũng như năm khai sinh môn học này. Sự khác biệt đều nằm ở chỗ không thống nhất về câu hỏi: yếu tố gì tạo thành môn hình giải tích. Có người cho rằng ngay thời cổ đã có môn này rồi, viện dẫn rằng khái niệm xác định một điểm bằng phương pháp toạ độ đã được các người Ai cập và La mã từ xưa đã dùng khi đo đạc đất đai và vẽ bản đồ. Nhưng mục tiêu của hình giải tích là dùng các công cụ giải tích hay đại số để phát hiện những tính chất hình học nên môn này chỉ được coi là hình thành ở vào thời khắc mà sự phát triển các kí hiệu trườu tượng và phép tính đại số đã đạt đến một trình độ nhất định.

Do đó đa số các sử gia đều cho rằng đóng góp quyết định làm nên hình giải tích xảy ra vào thế kỉ 17 do hai nhà toán học Pháp là René Descartes (1596-1650) và Pierre de Fermat (1601-1665). Chắc chắn là chỉ khi có sự tham gia của hai gương mặt kiệt xuất này thì hình giải tích mới có bộ mặt như chúng ta đã biết.

Đóng góp ban đầu của hai nhân vật này được vinh danh là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC.

Tuyên bố của Descartes về phát minh này được ông phát biểu ở một trong ba phụ lục của tác phẩm Luận Về Phương Pháp Suy Luận Có Lý và Tìm Chân Lý trong Khoa Học được xuất bản năm 1637. Chính trong phụ lục thứ ba, có tựa Hình Học, chứa đưng đóng góp của Descartes vào môn học mới khai sinh này. Phụ lục này bắt đầu bằng việc giải thích một số nguyên tắc về hình đại số và chứng tỏ một bước tiến rất xa đối với người Hy lạp. Đối với người Hy lạp, một số là độ dài một đoạn, tích hai số là diện tích một hình chữ nhật, tích ba số là thể tích khối hộp chữ nhật. Đến đây thì người Hy lạp dừng lại. Với Descartes, trái lại, x² không gơị ý một diện tích, nhưng là số hạng thứ tư trong tỉ lệ thức 1 : x = x : x², và do đó có thể biểu thị bằng một đoạn có thể dựng được dễ dàng nếu biết x. Dùng đoạn thẳng đơn vị chúng ta có thể, bằng cách này, biểu thị bất cứ lũy thừa bậc bao nhiêu đi nữa của một biến hoặc tích các giá trị của nhiều biến bằng độ dài một đoạn thẳng và thật ra là dựng độ dài đoạn thẳng đó bằng công cụ Euclidean khi giá trị được gán cho biến. Với phương pháp số hoá hình học như thế, Descartes, trong tiểu luận Hình Học của ông, ông đã vạch trên một trục những giá trị x và trên một trục khác những giá trị y và dựng những điểm có toạ độ x , y thỏa mãn một đẳng thức nào đó. Ví dụ với đẳng thức y = x², thế thì với mỗi giá trị của x, chúng ta có thể dựng những giá trị y như là những số hạng thứ tư của tỉ số trên. Descartes quan tâm đặc biệt đến việc tìm phương trình những đường được xác định bằng động lực học.

Fermat và đường xoắn ốc mang tên ông

Cùng lúc với Descartes đang tìm cách xây dựng những nền tảng của hình giải tích hiện đại, môn học này cũng chiếm được sự quan tâm của Fermat. Ngay trong bức thư gửi cho Roberval năm 1636, trong đó ông cho biết ý tưởng ông trình bày đã được ông thai nghén cách đó bảy năm. Những chi tiết của công trình đã được xuất bản dưới hình thức di cảo sau khi ông mất. Trong đó ta tìm thấy phương trình tổng quát của một đường thẳng, đường tròn, và các luận bàn về hyperbol, êlip và parabol.

Trong một tác phẩm viết về tiếp tuyến và đường bậc hai hoàn tất trước năm 1637, Fermat đã định nghĩa một cách giải tích nhiều đường cong mới. Khi Descartes đề nghị một ít đường cong mới, sinh ra bởi chuyển động cơ học thì Fermat lại đưa ra nhiều đường cong mới định bởi phương trình đại số. Những đường cong x^myⁿ = a, yⁿ = ax^m và rⁿ = aθ còn được hiểu là các đường hyperbol, parabol và đường xoắc ốc Fermat.

Nói khác đi Descartes bắt đầu bằng tập hợp điểm rồi sau đó đi tìm phương trình của nó, còn Fermat lại bắt đầu bằng phương trình rồi sau đó mới nghiên cứu tập hợp điểm liên kết với phương trình này. Đây là hai mặt đối nghịch nhau của nguyên tắc cơ bản của hình giải tích.

Để đối chiếu phương pháp tổng hợp của hình học cổ điển và phương pháp phân tích mới hơn của hình giải tích, ta xét định lí quen thuộc:

Trong một tam giác các trung tuyến đồng quy tại một điểm, điểm này chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2:1 kể từ đỉnh.

Ở hình cấp 2 học sinh đã biết cách chứng minh định lí này, trong đó ta phải vẽ thêm các đường phụ , và quá trình chứng minh thật không dễ dàng.

Nhắc lại cách chứng minh thường như sau :

Gọi G là giao điểm của trung tuyến BE và CF và M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. Đoạn FE song song và bằng nửa BC vì FE là đường trung bình của tam giác ABC. Tương tự MN cũng song song và bằng nửa BC vì MN là đường trung bình của tam giác GBC. Do đó EF và MN song song và bằng nhau, suy ra MNEF là hình bình hành. Do đó : MG = GE và NG = GF. Vậy hai trung tuyến BE và CF cắt nhau tại một điểm chia hai trung tuyến theo tỉ số 2 kể từ đỉnh đến trung điểm tương ứng. Vì tính chất này đúng với bất cứ cặp trung tuyến nào nên suy ra ba trung tuyến đồng qui tại G xác định như trên. Điểm G được gọi là trọng tâm tam giác.

Phép chứng minh trên phải công nhận là có tính thẩm mỹ, nhưng không phải dễ dàng để nghĩ ra, nhất là ở khâu vẽ thêm điểm phụ, đường phụ, thường đòi hỏi một trình độ điêu luyện nhất định. Đó chính là rắc rối thường gặp của phương pháp tổng hợp – người ta không biết bắt đầu từ đâu, và những bước giải tiếp theo như thế nào. Mổi bài toán thường là những tình huống xử lý khác nhau và độc đáo. Do đó phương pháp tổng hợp đòi hỏi một quá trình luyện tập và thực hành lâu dài mới đạt đến một trình độ nhất định nào đó.

Bây giờ ta hãy chứng minh lại định lí trên bằng phương pháp phân tích của hình giải tích.

Đặt tam giác trong hệ trục với các đỉnh A, B, C có toạ độ (a₁, a₂), (b₁, b₂) và (c₁, c₂). Hãy tìm toạ độ điểm G chia trung tuyến AD theo tỉ số 2:1. Tất cả chúng ta cần là công thức điểm chia đoạn theo một

tỉ số cho trước như sau: Nếu P là điểm trên đoạn MN sao cho MP/PN = r/s thế thì toạ độ P cho bởi :

p₁ = (sm₁ + rn₁)/(s + r)

p₂ = (sm₂ + rn₂)/(s + r)

trong đó (m₁, m₂) và (n₁, n₂) là toạ độ của M và N.

Sử dụng công thức này, ta được toạ độ của trung điểm D là :

d₁ = (b₁ + c₁)/2

d₂ = (b₂ + c₂)/2.

Sử dụng lần nữa để tìm toạ độ điểm G sao cho AG/GD = 2/1, ta được :

g₁ = (a₁ + 2d₁)/3

    = (a + b₁ + c₁)/3

g₂ = (a₂ + 2d₂)/3

    = (a₂ + b₂ + c₂)/3

Các biểu thức này như nhau đối với các toạ độ A, B, C, do đó có thể khẳng định điểm G này cũng là điểm chia các trung tuyến BE và CF theo cùng tỉ số, tức định lí được chứng minh.

Rõ ràng cách chứng minh bằng phương pháp này dễ dàng hơn. Ta chỉ đặt các đối tượng trong một hệ trục, rồi sử dụng công thức có sẵn để tìm toạ độ điểm, phương trình đường . . . Các bước tiến hành đều minh bạch và lúc nào cũng như vậy dù các bài toán có khác nhau. Chứng minh ba đường đồng qui bằng hình cổ điển có nhiều cách khác nhau, mỗi bài lại vận dụng một kiểu chứng minh khác. Nhưng trong phương pháp mới này, ta chỉ việc tìm phương trình các đường rồi tính toạ độ giao điểm để kết luận.

Cũng vậy bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học cổ điển là bài toán đa dạng đầy thách thức với nhiều kiểu giải có khi rất hóc búa, nhưng trong hình giải tích, ta chỉ có một cách là tìm toạ độ của chúng rồi chứng minh các toạ độ ấy thỏa mãn một phương trình bậc nhất vốn là phương trình một đường thẳng.

Bù lại, để làm chủ phương pháp mới này, chúng ta phải thông suốt các công thức và phải thật tinh xảo trong kỹ năng tính toán.

Định lí trên đã được mở rộng trong hình không gian, được biết với tên định lí Commandino (1509- 1575).

Đoạn nối đỉnh tứ diện với trọng tâm mặt đối diện gọi là trung tuyến của tứ diện. Định lí Commandino nói :

Trong một tứ diện bốn trung tuyến đồng qui tại một điểm, điểm này chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 3: 1 kể từ đỉnh.

Chúng ta đều biết rằng trong hệ trục không gian, các công thức toạ độ cũng không khác. Do đó cách chứng minh cũ có thể áp dụng trong tình huống mở rộng này dễ dàng. Đó là thêm một ưu điểm của phương pháp hình giải tích.

Tóm lại phương pháp hình cổ điển thì mỹ lệ hơn, lãng mạn hơn, sâu sắc hơn và cũng khó nắm bắt hơn trong khi phương pháp hình giải tích thì bao quát hơn, chân phương hơn, uy lực hơn và cũng thân thiện hơn. Một nhà hình học có bản lĩnh luôn sử dụng cả hai phương pháp một cách linh hoạt để giải quyết các bài toán của mình.

Trong quyển Toát Yếu Eudemian, Proclus (410-485) kể chúng ta rằng Ptolemy Soter, vua đầu tiên của Ai cập và người thành lập Bảo tàng Alexandria, đã bảo trợ cho trường bằng việc học hình học ở đó dưới sự giảng dạy của Euclid. Ông ta thấy hình sao mà khó, bèn hỏi thầy mình: Có con đường nào khác dễ hơn để học hình không?” Euclid trả lời: “Thưa bệ hạ, ở ngoài đời có hai loại đường, đường dành cho thứ dân và đường dành cho hoàng tộc. Nhưng trong hình học không có đường riêng dành cho bậc vương giả.” Vì nhiều học sinh giỏi đại số hơn hình học nên phương pháp hình giải tích có thể coi là “con đường dành cho bậc vương giả” trong hình học mà Euclid nghĩ là không tồn tại.

Cũng tương tự như việc quả táo rơi đã khiến Newton nghĩ ra lực hấp dẫn của trái đất, người ta kể một sự kiện xảy ra khiến ánh chớp hình giải tích loé lên trong đầu của Descartes một buổi sáng sớm khi còn nằm trên giường. Nhìn chú ruồi bò trên trần nhà gần góc phòng, ông chợt phát hiện rằng đường đi của chú ruồi có thể được mô tả nếu ta biết được hệ thức liên hệ giữa khoảng cách của chú đến hai bức tường phòng liên tiếp. Giai thoại không biết có thật không nhưng đúng là có giá trị sư phạm cao.