Những Thời Khắc Trọng Đại của TOÁN HỌC- Bài 13

13. Kích thích của khoa học

Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

Thần Antaeus là con trai khổng lồ của Neptune (Thần Biển) và Ge (nữ thần đất), và sức mạnh của y là vô địch chừng nào mà y còn tiếp xúc với Mẹ Đất. Những người lạ vừa mới đến xứ sở của y bắt buộc phải vật lộn một sống một chết với y, và tình cờ một ngày kia Hercules và Antaeus so tài nhau. Nhưng Hercules, biết yếu điểm của Antaeus, nên nhấc bổng y khỏi mặt đất và giết y khi y ở trên không.

Có một ngụ ngôn dành cho các nhà toán học. Cũng giống như Antaeus sinh ra và nuôi dưỡng bởi Mẹ Đất, lịch sử đã chỉ chúng ta rằng mọi ngành Toán học có ý nghĩa và trường tồn đều sinh ra và nuôi dưỡng bởi thế giới thực tế . Cũng như Antaeus, chừng nào mà toán học còn tiếp xúc với thực tại, nó vẫn còn mạnh mẽ. Nhưng nếu ta tách nó khỏi mặt đất vững chải nơi nó sinh ra để mang nó vào khoảng không yếu ớt của trừu tượng thuần túy, nó có thể sẽ yếu đi. Cần phải thỉnh thoảng trả nó về mặt đất để nó hồi phục sức mạnh cội nguồn.

Sự hồi xuân như thế của toán học đã xảy ra trong thế kỷ thứ 17, theo sau các khám phá của hai nhà toán học- khoa học nổi tiếng – Galileo (1564-1642) và Kepler (1554-1630). Galileo, chưa đầy 25 tuổi, sau một chuỗi thí nghiệm, đã khám phá một số sự kiện căn bản liên quan đến chuyển động của vật thể trong trọng trường của trái đất, và Kepler, khoảng 1619, đã tìm ra ba định luật nổi tiếng về quỹ đạo của hành tinh. Những thành tựu này đã ảnh hưởng đến sự phát triển của toán học về sau này, xứng đáng được vinh danh là hai THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC.

Sự khám phá của Galileo đưa đến sự hình thành khoa học mới về động lực học và của Kepler đến cơ học vũ trụ hiện đại; và mỗi một nghiên cứu này, ngược lại, đòi hỏi một công cụ toán học mới- toán vi tích phân- để phát triển vì chỉ có công cụ mới này mới giải quyết được các bài toán về biến thiên, thông lượng và chuyển động.

Một dạng toán mới được hình thành. Toán cũ thì thụ động và tĩnh trong khi toán mới năng động và tràn nhựa sống, toán cũ có thể ví như một bức ảnh còn toán mới là đoạn phim. Toán cũ đối với toán mới giống như ngành giải phẫu đối với ngành sinh lí học. Hơn nữa, trong khi toán cũ chỉ đề cập đến những đối tượng cố định và hữu hạn thì toán mới ôm lấy những chuyển động và cái vô hạn.

Galileo sinh năm 1564 tại Pisa là con trai của một quí tộc Florentine nghèo khó. Sau bước đầu học y không mấy thích thú, Galileo được cha cho phép đổi ngành học sang khoa học và toán học, lãnh vực ông có thiên hướng bẩm sinh.

Trong khi còn là sinh viên y khoa tại Đại học Pisa, ông đã phát hiện một hiện tượng nổi tiếng trong lịch sử là chiếc đèn treo khổng lồ trong nhà thờ dao động tới lui với một chu kỳ độc lập với kích thước cung dao động (sự kiện càng đúng khi biên độ dao động càng nhỏ). Sau đó ông chứng minh rằng chu kì của quả lắc cũng độc lập với trọng lượng quả lắc. Khi được 25 tuổi, ông được nhận làm giáo sư toán tại Đại học Pisa. Chình trong thời gian này, ông đã tiến hành thí nghiệm tại tháp nghiêng Pisa, để chứng tỏ rằng, trái với lời dạy của nhà đại hiền triết thời cổ Aristotle, là vật thể nặng không rơi nhanh hơn vật thể nhẹ. Bằng cách cho các vật thể lăn xuống một dốc nghiêng, ông tìm ra định luật là quãng đường đi được tỉ lệ với bình phương thời gian đi, theo công thức thân quen s = (1/2)gt².

Những xung đột nội bộ phiền toái khiến ông phải rời bỏ ghể giảng dạy năm 1591, năm sau ông nhận chức danh giáo sư toán tại Đại học Paduia, nơi đó không khí giảng dạy nồng ấm và thân thiện hơn.

Tại Padua, trong suốt 18 năm, ông tiến hành nhiều cuộc thí nghiệm và giảng dạy, tiếng tăm lan rộng. Trong thời gian này khoảng 1607, ông nghe nói có một thợ làm kính đã sáng chế được một kình viễn vọng, thế là ông bắt tay tự làm lấy một kính cho riêng mình, có độ phóng đại gấp 30 lần. Qua kính này, ông quan sát thấy những vết đen trên mặt trời (trái với lời xác quyết của Aristotle là mặt trời không có tì vết), nhìn thấy núi trên mặt trăng, và theo dõi được các tuần của sao Kim, vòng sáng quanh Thổ Tinh và bốn vệ tinh sáng chói của Mộc Tinh (tất cả ba phát hiện này càng làm người ta tin thêm vào thuyết thái dương hệ của Copernic). Sự khám phá của Galileo gây ra làn sóng chống đối từ Giáo Hội, và cuối cùng năm 1633, ông bị giải ra trước tòa án Dị Giáo và bị cưỡng bách phải chối bỏ mọi khám phá khoa học của mình. Vài năm sau nhà khoa học vĩ đại này trở nên mù lòa. Ông mất, trong khi bị quản thúc tại nhà, vào năm 1642, năm Isaac Newton ra đời.

Ta mang ơn Galileo tinh thần hiện đại coi khoa học là mối liên hệ hài hòa giữa thực nghiệm và lý thuyết. Ông không những đã thành lập môn cơ học của vật thể chuyển động tự do, mà còn tạo ra nền tảng của động lực học, những nền tảng mà sau này Newton có thể xây dựng nên khoa học trên nền tảng toán học. Galileo là người đầu tiên biết rằng quỹ đạo của vật thể trong chân không là một parabol, và ông cũng nghiên cứu các định luật về momen. Ông sáng chế kình hiển vi hiện đại đầu tiên. Ngay từ năm 1597, ông đã hoàn thiện compa quạt (sector compass), một dụng cụ đơn giản đã phổ biến rộng rãi hơn 200 năm.

Galileo viết bằng tiếng Ý hai luận thuyết nổi danh, một về thiên văn học và một về vật lí. Tựa là Hai Hệ Thống Chính Yếu (1632) viết về công trạng của Ptolemy và Copernic khi nói về thái dương hệ, và Hai Ngành Khoa Học Mới (1638), nghiên cứu về động lực học và sức chịu đựng của vật liệu.

Mỗi tác phẩm được trình bày dưới dạng đối thoại giữa ba người: Salviati (một học giả uyên thâm), Sagredo (một người bình thường thông minh), và Simplicio (người theo thuyết Aristotle chính thống). Chính vì quyển thứ nhất mà ông bị đem ra toà phán xét và bị quản thúc; quyển thứ hai in ở Leyden, được viết trong thời gian ông bị giam cầm. Trong tác phẩm này, ông có nêu vài tính chất của những số vô cùng nhỏ và vô cùng lớn, ý tưởng so sánh các số vô cực mà sau này Cantor thế kỷ 19 đã phát triển trong lý thuyết tập hợp và những số vô hạn.

Có thể Galileo đã rất ganh tỵ khi nghe về những phát hiện cùng thời của Kepler, bởi vì mặc dù Kepler đã công cố ba định luật này ngay từ năm 1619, Galileo mù tịt về chúng.

Kepler sinh tại Stuttgart, Đức, năm 1571 và bắt đầu việc học tại Đại học Tubingen với ước muốn trở thành một mục sư tin lành. Cũng như Galileo, ông thấy việc chọn nghề đầu tiên không thể thỏa mãn đam mê khoa học, nhất là thiên văn học, và vì thế ông thay đổi kế hoạch đời mình.

Năm 1594, khi vừa độ 20, ông nhận chân trợ giảng tại Đại học Gratz ở Áo. Năm năm sau ông trở thành phụ tá cho nhà thiên văn Thụy Điển lừng danh Tycho Brahe, ông này đã chuyển về Prague để phục vụ dưới trướng Kaiser Rudolph II như một nhà thiên văn hoàng gia. Năm 1601, Brahe đột ngột qua đời, và Kepler được thừa hưởng chức vị của thầy, đồng thời cả kho tài liệu ghi dữ kiện về vị trí của các hành tinh khi chúng chuyển động trên bầu trời. Với sự kiên trì không ai sánh nổi, ông đã lục lọi trong kho dữ kiện này để suy ngẫm và rút ra qui luật chuyển động của các hành tinh.

Người ta thường nói “có công mài sắt có ngày nên kim,” phàm làm việc gì dù khó khăn đến mấy nếu ta cứ kiên trì và quyết tâm không ngừng nghĩ thì cũng có ngày thành tựu. Lấy châm ngôn Edison nói về điều kiện của một phát minh thành công thường là chỉ do 1 phần trăm cảm hứng còn đến 99 phần trăm là mồ hôi, ta có thể nói giải toán là 1 phần trăm tưởng tượng và đến 99 phần trăm là kiên trì.

Có lẽ không nơi đâu trong lịch sử khoa học, điều này được minh chứng rõ ràng như trong trường hợp của Kepler khi ông nhẫn nại và kiên trì không mệt mỏi và không thể tin được trên con đường đi tìm lời giải cho bài toán chuyển động của các hành tinh quanh mặt trời. Hoàn toàn bị thuyết phục bởi lý thuyết của Copernic khi cho rằng các hành tinh đi trên những quỹ đạo quanh tâm mặt trời, Kepler cố tìm ra bản chất và vị trí của các quỹ đạo này và cách thức mà các hành tinh di chuyển trên quỹ đạo. Với các kho dữ kiện khổng lồ của Brahe để lại, vấn đề là phải tìm ra một loại chuyển động ăn khớp với các dữ kiện quan sát được của Brahe. Ông tin cậy các dữ liệu của thầy để lại đến nổi bất cứ lời giải nào chỉ xê xích chút ít đến chúng đều bị ông loại bỏ.

Trước tiên bằng trí tưởng tượng, Kepler dự đoán một lời giải tin cậy được, rồi sau bằng tính kiên trì vô lượng ông trải qua hàng núi phép tính toán tẻ nhạt để xác nhận dự đoán này là chân lí hay ngụy lí. Ông đã thử hàng trăm dự đoán và thất bại rồi tiếp tục dự đoán và lại tính và tính với lòng nhiệt thành không hề suy giảm và tính kiên nhẫn vô tiền khoáng hậu trong nhiều năm liền.

Cuối cùng ông giải được bài toán của mình, dưới dạng ba định luật nổi tiếng về chuyển động của các hành tinh, hai định lí đầu tiên tìm thấy trong năm 1609, và 10 năm sau là định lí thứ ba.

I. Các hành tinh chuyển động quanh mặt trời theo quỹ đạo là các đường êlip mà mặt trời là một tiêu điểm.

II. Bán kính vectơ nối mặt trời với hành tinh quét một diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.

III. Bình phương thời gian mà hành tinh đi một vòng quỹ đạo tỉ lệ thuận với lập phương của nửa độ dài trục lớn của quỹ đạo.

Sự khám phá bằng phương pháp thực nghiệm của các định luật này dựa trên đống dữ liệu khổng lồ của Brahe là một trong những suy diễn đáng nể nhất trong khoa học. Với niềm tự hào xứng đáng, Kepler đã mở đầu quyển Tính Hài Hòa của các Thế Giới năm 1619 bằng những vần thơ vỡ òa như thế này:

Tôi đang viết một quyển sách cho người đương thời hay- có sao đâu – cho người hậu thế.

Có thể quyển sách này sẽ đợi 100 năm để có người đọc đến.

Có sá gì vì Thượng Đế há chẳng đợi đến 6000 năm mới có người quan sát hệ thống của Người.

Định luật chuyển động hành tinh của Kepler là dấu ấn trong lịch sử thiên văn và toán học, bởi vì trong nổ lực để chứng minh chúng, Newton phải vận dụng đến cơ học vũ trụ hiện đại. Điều thú vị là 1800 năm sau khi người Hi lạp phát hiện ra thiết diện cônic giờ đây nó đã được ứng dụng một cách vi diệu. Người ta không thể hiểu khi nào một kiến thức toán học trừu tượng lại có thể được ứng dụng trong thực tế vào một thời điểm không ngờ đến.

Để tính được diện tích trong định luật thứ hai, Kepler phải thực hiện các dạng thô sơ của phép tính tích phân, khiến ông có thể coi là người tiên phong của môn toán này. Trong quyển Hình Học Khối Về Thùng Rưọu Vang (1615), ông áp dụng các phép tính tích phân thô sơ để tìm ra thể tích của 93 khối tròn xoay khác nhau tạo bởi các cung cônic khi quay quanh trục của chúng. Trong số các khối này có hình xuyến và hai hình mà ông gọi hình quả táo và quả chanh. Sở dĩ ông thích thú về vấn đề này là vì ông quan sát cách đo nhọc nhằn của những người thợ làm rưọu vang. Có thể Cavalieri đã bị ảnh hưởng bởi công việc này của Kepler khi ông nâng phép tính vi tích phân lên một tầm cao mới và tinh tế trong phương pháp bất khả phân, mà ta sẽ bàn đến trong bài sau.

Kepler cũng là người giới thiệu danh từ “tiêu điểm” cho các đường cônic. Ông tính chu vi của elip bằng công thức π(a + b) trong đó a và b là độ dài nửa trục lớn và trục nhỏ. Ông cũng quan niệm đường thẳng có thể coi là một đường khép kín ở vô cực, rằng hai đường song song sẽ cắt nhau vô cực và rằng parabol có thể coi như trường hợp đặc biệt của elip hoặc hyperbol trong đó một tiêu điểm của nó tiến ra vô cực. Những ý tưởng này thật là cách mạng và được các nhà hình học về sau phát triển. Ông còn được biết đến qua cái gọi là bài toán của Kepler là làm cách nào nén chặt một không gian bằng những quả cầu có kích cở bằng nhau sao cho khoảng trống giữa chúng là ít nhất. Kepler ức đoạn là mật độ nén chặt không thể hơn

Kết quả này chưa ai chứng minh được là sai hay đúng.

Thành tựu của Kepler là như thế nhưng cuộc đời riêng của ông là một chuỗi những bất hạnh trần gian. Khi mới bốn tuổi ông đã bị bệnh đậu mùa khiến hai mắt bị tổn thương nhiều. Ngoài sức khoẻ không khi nào tốt, tuổi trẻ của ông không vui vẻ chút nào, cuộc hôn nhân của ông là một chuỗi đau khổ; đứa con trai mà ông yêu quý chết vì đậu mùa; vợ ông hóa điên mà qua đời; ông bị trục xuất khỏi Đại học Gratz khi thành phố rơi vào tay người Thiên Chúa Giáo; mẹ ông bị kết tội và bị tống vào tù vì bị ghép là phù thủy và ông phải trải qua một năm trời cố cứu bà thoát khỏi án hành hình một cách tuyệt vọng. Bản thân ông cũng suýt bị kết tội dị giáo và lương hướng của ông luôn chậm trễ. Người ta còn nói rằng cuộc hôn nhân thứ hai của ông còn tệ hại hơn nữa, mặc dù ông đã đối chiếu và phân tích cẩn thận những ưu khuyết điểm của 11 cô gái ứng viên trước khi chọn phải người sai lầm. Ông phải tăng thêm thu nhập bằng cách hành nghề chiêm tinh, và ông mất trong một cơn sốt vào năm 1630 vào năm 59 tuổi khi ông trên đường đi lãnh một món tiền lương quá hạn.

Tham khảo 1: Galileo và tháp nghiêng Pisa