11. Người đần độn
Howard Eves
Trần Quang Nghĩa lược dịch
Quá trình gieo rắc và quảng bá hệ thống số Ả rập – Ấn độ gồm 10 chữ số từ 0 đến 9 mà thế giới đang sử dụng vào Tây Âu chủ yếu nhờ việc in ấn các sách ca ngợi và ủng hộ hệ thống chữ số mới.
Công trình số học sớm nhất của người Ả rập là công trình của AlKhowarizmi (825), mở đầu cho nhiều công trình của các tác giả Ả rập về sau. Những số học này chủ yếu là những qui luật tính toán theo kiểu Ấn, sử dụng các chữ số Ấn. Trong đó có phép thử đúng sai của phép tính bằng quy tắc chữ số 9 mà ai cũng học qua ở bậc tiểu học. Ngoài ra các thuật toán giả sử để giải các bài toán cấp 1 mà không phải dùng đến phương pháp đại số như ta từng làm quen khi còn ở tiểu học. Căn bậc 2, bậc 3, phân số và quy tắc tam xuất cũng được giảng nghĩa thường xuyên. Cũng cần biết từ tên AlKhowarizmi, mà người Tây phương đặt ra thuật ngữ algorithm có nghĩa là thuật toán.
AlKhowarizmi
Trong các công trình gây ảnh hưởng đến việc quảng bá và sử dụng hệ thống chữ số Ả rập – Ấn, công trình quan trọng nhất là quyển sách có tên Liber abaci xuất hiện ở Ý năm 1202. Sự ra đời của quyển sách là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC mà chúng ta sẽ bàn đến sau đây.
Tác giả của Liber abaci là Leonardo Fibonacci (1175-1250), nhà toán học tài năng nhất của thời Trung Cổ, cũng được biết dưới tên Fibonaco ở thành phố Pisa. Ông sinh tại thành phố thương mại Pisa, nơi đó nghề nghiệp của cha ông liên quan đến thương mại. Nhiều công ty kinh doanh của Ý lúc đó sở hữu rất nhiều kho hàng dọc theo Địa Trung Hải, do đó khi cha ông đảm nhận chức vụ quản lí thuế, chàng thiếu niên Fibonacci có dịp đi cùng cha đến sống ở Bougie trên bờ Bắc Phi Châu. Công việc tính toán thuế khóa của cha đã gieo vào đầu óc Fibonacci sự yêu thích môn số học, và sau đó những lần đi đến các cảng Ả rập và xuống tận Ai cập, Sicily, Hy lạp và Syria, đã mang lại cho ông nhiều cơ hội tiếp xúc với kỹ năng tính toán Ả rập. Hoàn toàn bị chinh phục bởi tính hơn hẳn của thuật tính toán theo hệ thống số Ả rập – Ấn độ, năm 1202, chỉ một thời gian ngằn sau khi về nhà, ông cho ra đời quyển Liber abaci lừng danh.
Fibonacci
Bản in đầu tiên của Liber abaci không còn tồn tại, chỉ có bản in thứ hai năm 1228 là được lưu truyền đến chúng ta. Quyển sách đề cập đến số học và đại số, mặc dù có những nghiên cứu độc lập, có thể cho thấy ảnh hưỏng của các kiến thức đại số của AlKhowarizmi và Abu Kamil. Quyển sách minh học phong phú và đề cao mạnh mẽ những kí hiệu Ấn độ-Ả rập cùng những thuật toán đi kèm. Trong 15 chương của quyển sách là những giải thích cách đọc và viết các chữ số mới, thuật tính toán số nguyên và phân số, tính căn bậc 2, bậc 3, và cách giải các phương trình bậc 1, bậc 2. Các nghiệm âm và ảo không được đề cập và các phương trình xuất hiện dưới dạng các bài toán thực tế như trao đổi, chia phần, và đo lường hình học. Công trình cũng chứa một tuyển tập phong phú các bài toán, là kho tham khảo cho các tác giả đời sau. Tác dụng thấy ngay của công trình là ảnh hưởng của nó lên sự truyền bá hệ thống số mới.
Nói đến Fibonacci, ta thường nhắc đến bài toán nổi tiếng của ông được phát biểu dưới dạng sau:
“Có bao nhiêu cặp thỏ được sinh ra từ một cặp thỏ đầu tiên sau một năm, biết rằng mỗi tháng mỗi cặp sinh ra được một cặp thỏ mới, và hai tháng sau khi sinh một cặp thỏ mới có thể bắt đầu sinh sản?”
Không mấy khó khăn chúng ta có thể thấy ngay là số cặp thỏ sau tháng thứ 1, 2, . . . là số hạng của dãy số lừng lẫy mang tên ông: 1, 1, 2, 3, 5, . . ., x, y, x + y, . . .
Dãy số này có hai số hạng đầu là 1, kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng là tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó. Dãy số này xuất hiện trong những tình huống ta không ngờ tới. Nó có mặt trong nghệ thuật, trong sự nhân giống đàn ong, sự phân bố của lá cây, và nó cũng xuất hiện đây đó trong toán học.
Lấy ví dụ về sự phân bố lá cây. Nếu chúng ta quan sát lá cây cuối cùng ở sát gốc một thân cây rồi đếm số lá cây mọc dọc theo thân cây, cho đến lá cây ngay phía trên lá đầu tiên. Ta sẽ thấy số lá cây này là số hạng của dãy số Fibonacci. Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi yến thường có 8 cánh, hoa vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh. Các số Fibonacci cũng
xuất hiện trong các bông hoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144.
Nếu chúng ta lập dãy số những tỉ số các số hạng liên tiếp của dãy Fibonacci – số hạng sau/số hạng trước, chúng ta được dãy số : 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 . . . Ta có thể chứng minh dãy số này tiến đến số
Số này chính là tỉ số vàng mà chúng ta đã đề cập trong bài 5. Hình như giới tự nhiên cũng nổ lực tiến đến tỉ số vàng.
Dãy số Fibonacci tìm thấy nhiều ứng dụng trong những nghiên cứu toán học. Ví dụ, trong thuật toán Euclidean tìm ước số chung lớn nhất của hai số dương, ta phải thực hiện một số phép chia liên tiếp. Ta tự hỏi có thể có một giới hạn nào của số các lần chia này hay không? Câu trả lời được Gabriel Lamé (1795-1870) cung cấp trong định lí sau: “Số các phép chia cần để tìm ước số chung lớn nhất của hai số dương thì không bao giờ lớn hơn năm lần số các chữ số của số nhỏ.” Ai ngờ việc chứng minh định lí này lại nhờ đến vài tính chất của dãy Fibonacci.
Những tài liệu về sự hiện diện cùng khắp của dãy số Fibonacci và tính chất của nó lớn lao một cách đáng kinh ngạc và không ngừng phát triển. Những hệ thức quan trọng gắn liền với dãy số hình như, tương tự như trong hình học tam giác, là vô tận. Đúng vậy, trong năm 1963, một nhóm người nhiệt thành với dãy số Fibonacci đứng đầu bởi Tiến sĩ Verner Hoggatt thành lập Hội Fibonacci và bắt đầu xuất bản tạp chí từng quý Fibonacci Tam Nguyệt San, chuyên nghiên cứu về Fibonacci và các dãy số liên hệ. Trong ba năm tồn tại đầu tiên, tạp chí này in gần 1000 trang nghiên cứu trong lĩnh vực đặc biệt này.
Fibonacci còn viết thêm các tác phẩm khác ngoài Liber abaci. Năm 1220 xuất hiện Hình học Thực hành, một tuyển tập lớn các kiến thức về hình học và lượng giác được viết khéo léo, nghiêm cẩn và độc đáo. Năm 1225, Fibonacci viết Liber quadratorum, một công trình rực rỡ và mới mẻ về giải tích vô định, mang ông lên tầm cao ngang với Diophantus và Fermat. Những công trình này hoàn toàn vượt qua khả năng của các học giả đương thời.
Tài năng xuất chúng của ông lọt vào mắt xanh của Hoàng đế Frederic II của vương quốc Sicily, người tài trợ cho nền học thuật. Kết quả là ông được mời tới hoàng cung để tham gia cuộc thi tài toán học. Ba bài toán do John xứ Palermo, một thành viên của đoàn tùy tùng nhà vua, đưa ra. Fibonacci giải được cả ba bài, khiến mọi người tâm phục, khẩu phục. Sau đây là hai bài toán đầu:
Bài toán thứ nhất là tìm số hữu tỉ x sao cho x2 + 5 và x2 – 5 mỗi số đều là bình phương của một số hữu tỉ. Fibonacci tìm ra x = 41/12, là một đáp số đúng vì (41/12)2 + 5 = (49/12)2 và (41/12)2 – 5 = (31/12)2. Lời giải sau đó xuất hiện trong quyển Liber quadratorum.
Bài toán thứ hai là giải phương trình bậc 3: x3 + 2x2 + 10x = 20
Fibonacci chứng minh rằng phương trình không thể có nghiệm vô tỉ có dạng , hay, nói một cách khác, không có nghiệm có thể dựng được bằng thước và compa. Sau đó ông tìm được một nghiệm gần đúng, viết theo cơ số thập phân là 1,3688081075, là một đáp số đúng đến 9 chữ số thập phân. Câu trả sau đó xuất hiện, mà không kèm lời giải, trong một công trình có tên Flos (nghĩa là Hoa) và đã gây thắc mắc không biết ông đã tìm ra nó như thế nào.
Fibonacci thường kí tên lên các công trình của mình là Leonardo Bigollo. Mà Bigollo có đến hai nghĩa: một là người du lịch, hai là người đần độn. Khi kí tên như thế ắt hẳn Fibonacci muốn xưng mình là người đi đây đi đó nhiều, vì thật ra là như thế. Nhưng có người nói sở dĩ ông lấy biệt danh đó vì nhiều người đương thời cho ông là đần độn khi cứ quá say mê các chữ số Ấn-Ả rập. Và với biệt danh đó, ông muốn chứng tỏ với các người chỉ trích ông là một người đần độn có thể làm được những gì.
Nghiên Cứu Lịch Sử 