Những Thời Khắc Trọng Đại của TOÁN HỌC- Bài 9

9 . Nhà lý thuyết số vĩ đại đầu tiên

Howard Eves

Trần Quang Nghĩa lược dịch

Chúng ta đều nhất trí rằng những cú hích đầu tiên tạo ra sự phát triển lý thuyết số đã được Pythagoras và các đệ tử của ông phát khởi, vì theo triết lý của họ, các số nguyên sẽ thống trị thế giới. Nhiều công trình của họ đã trở thành cơ sở cho các phép bí tích số và bói toán. Như Iamblichus, một triết gia Tân Platon rất có ảnh hưởng sống vào khoảng 320, đã cho rằng Pythagoras khám phá ra các số thân hữu.

Hai số nguyên gọi là thân hữu nếu số này là tổng các ước số thực sự của số kia. Như 284 và 220 là hai số thân hữu vì các ước số của 220 là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, và 110 (không kể 220) có tổng là 284, và các ước số của 284 là 1, 2, 4, 71, và 142 ( không kể 284) có tổng là 220. Các cặp số thân hữu mang một hào quang huyền bí, và các trò mê tín về sau gán hai người nào ứng vào hai lá bùa mang hai con số này sẽ có một tình bạn bền chặt giữa họ. Những số như thế đóng vai trò quan trọng trong ma thuật, phù thủy, chiêm tinh, và bói toán.

Sau cặp số này, 284 và 220, không có cặp số thân hữu mới nào được tìm ra cho mãi đến khi nhà lý thuyêt số Fermat người Pháp trong năm 1636 tuyên bố rằng số 17296 và 18416 là cặp số thân hữu khác. Hai năm sau, René Descartes, nhà toán học và triết gia Pháp, cho cặp số thứ ba. Nhà toán học Thụy Sĩ Leonard Euler nghiên cứu cách tìm có hệ thống các cặp thân hữu và, năm 1747, cho một danh sách gồm 30 cặp, sau đó mở rộng đến hơn 60 cặp. Điều ngạc nhiên là vào năm 1866, một học sinh người Ý mười sáu tuổi đã nêu cặp số thân hữu nhỏ là 1184 và 1210 mà các nhà toán học đã bỏ sót. Ngày nay hơn 1000 cặp số thân hữu đã được tìm ra.

Những số khác ít nhiều mang tính huyền bí thường được gán cho Pythagoras còn phải kể là những số hoàn hảo, số khiếm khuyết và số dư thừa. Gọi N là tổng các ước số thực sự của một số nguyên dương. Số n được gọi là hoàn hảo, khiếm khuyết, dư thừa khi N = n, N < n, N > n. Do đó số 6 là hoàn hảo vì có ước là 1, 2, 3 và 1 + 2 + 3 = 6, 8 là số khiếm khuyết vì 1 + 2 + 4 < 8 và 12 là số dư thừa vì 1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12.

Cho đến năm 1952 chỉ có 12 số hoàn hảo được tìm ra, tất cả đều chẵn, ba số đầu là 6, 28, 496. Định lí cuối cùng trong quyển IX của bộ Các Yếu Tố của Euclid chứng minh rằng nếu 2ⁿ – 1 là một số nguyên tố thì số 2ⁿ ^– ¹(2ⁿ – 1) là số hoàn hảo. Ví dụ với n = 2, thì 2ⁿ – 1 = 3 là số nguyên tố, thì 2ⁿ ^– ¹(2ⁿ – 1) = 2 x 3 = 6 là số hoàn hảo nhỏ nhất mà ta biết. Số hoàn hảo cho bởi công thức Euclid là số chẵn và Euler đã chứng minh rằng mọi số hoàn hảo chẵn phải thuộc dạng này. Có tồn tại hay không số hoàn hảo lẻ là một bài toán nổi tiếng chưa giải được trong lý thuyết số; và ta được biết rằng nếu có, con số đó phải lớn hơn 10¹⁰⁰.

Năm 1952, với sự giúp đở của máy tính SWAC, thêm năm số hoàn hảo được tìm thấy, ứng với n = 1521, 607, 1279, 2203, và 2281 trong công thức của Euclid. Năm 1957, dùng máy tính BESK, một số khác được tìm ra ứng với n = 3217, và trong năm 1961, với máy IBM 7090, thêm hai số được phát hiện với n = 4253, 4423. Đến giờ (tại thời điểm quyển sách này được viết 1985) đã có đến 27 số hoàn hảo được tìm thấy.

Số nguyên tố, viên đá nền tảng tạo thành mọi số nguyên khác, đã trải qua một lịch sử khá dài, khởi từ những ngày huy hoàng của Hy lạp cổ cho đến tận ngày nay. Euclid, trong định lí 20 của Quyển IX bộ Các Yếu Tố , đã chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố là vô tận. Một tổng quát hoá khá đẹp của định lí này là định lí sau do Dirichlet (1805-1859) thiết lập, nói rằng mỗi cấp số cộng : a , a + d, a + 2d, a + 3d, . . . trong đó a và d nguyên tố cùng nhau, chứa đựng vô số số nguyên tố. Cách chứng minh định lí này không đơn giản chút nào.

Chắc chắn kết quả đáng kinh ngạc đối với số nguyên tố là định lí gọi là định lí số nguyên tố. Gọi A_n là số các số nguyên tố nhỏ hơn n . Định lí này nói rằng : A_n Ln(n ) / n tiến đến 1 khi n tăng lên vô cực. [Ln(n)chỉ logarit tự nhiên của sói n].

Nói cách khác, A_n / n, gọi là mật độ của số nguyên tố, xấp xỉ bằng 1 / Ln( n), và càng gần bằng khi n càng lớn. Định lí được dự đoán bởi nhà toán học Gauss (1777-1855) lúc ông 15 tuổi khi khảo sát một bảng số nguyên tố, và được chứng minh một cách độc lập năm 1896 bởi nhà toán học Pháp và Bỉ là Hadamard và Poussin.

Một bảng các số nguyên tố là vô giá khi nghiên cứu về chúng. Một bảng chứa đến 24000 số nguyên tố đã được in năm 1659 như một phụ lục của một quyển sách đại số. Năm 1668, John Pell ở Anh đã in bảng số đến số nguyên tố nhỏ hơn 100000. Thành tựu lớn nhất là bản thảo chưa in của nhà toán học Mỹ Lehmer (1867-1938) đã tìm ra những số nguyên tố lớn đến 100.000.000 mà ông tích lũy trong những khi rảnh rổi trong suốt hơn 20 năm.

Có nhiều những câu hỏi chưa giải được về số nguyên tố. Ví dụ: có phải có vô số số nguyên tố dạng n² + 1 hay không? Có phải lúc nào cũng có một số nguyên tố giữa hai số n² và (n + 1)² hay không? Có vô số số nguyên tố Fermat hay không – đó là số nguyên tố dạng

Trong lịch sử toán học, có một nhân vật nổi bật, xứng đáng gọi là thiên tài đầu tiên trong lý thuyết số và một trong các công trình của ông gây ảnh hưởng đến các nhà lý thuyết số Âu châu về sau sâu xa đến nổi có thể vinh danh tác phẩm này là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TOÁN HỌC. Người đó là Diophantus ở Alexandria, và tác phẩm được nhắc đến là quyển Arithmetica (Số Học) nổi tiếng của ông. Mặc dù có chứng cớ cho thấy ông thuộc thế kỷ thứ nhất, nhưng hầu hết các sử gia đều cho ông ở vào thế kỷ thứ ba. Ngoài sự kiện ông thành đạt ở Alexandtia, người ta không biết nhiều về đời tư của ông.

Diophantus viết ba công trình toán học: Số Học gồm 13 quyển mà quyển 6 đã thất lạc. Về Các Số Đa giác, chỉ còn một phần nhỏ được lưu truyền, và Porisms, đã thất truyền.

Bộ Số Học là bộ sách vĩ đại và độc đáo. Qua đó cho thấy tác giả là một bậc kì tài trong lãnh vực lý thuyết đại số. Phần còn lưu truyền đề cập phép giải 130 bài toán đại số rất đa dạng, đưa đến việc giải phương trình bậc 1, bậc 2 và một phương trình bậc 3 đặc biệt. Quyển đầu tiên bàn về phương trình một ẩn, các quyển khác đề cập các phương trình vô định 2 hay 3 ẩn.

Dù cách giải của ông là không tổng quát nhưng qua đó cho thấy ông sáng tạo những kỷ năng giải toán điêu luyện vận dụng cho từng bài riêng lẻ. Diophantus chỉ công nhận nghiệm số là những số hữu tỉ
dương và thường thường ông chỉ tìm một nghiệm mặc dù phương trình có thể có nhiều nghiệm. Sau đây là một vài ví dụ:

Bài số 17, Quyển I: Tìm bốn số mà tổng của ba số lấy từng ba một là 22, 24, 27, và 20.
Bài 6, Quyển III: Tìm ba số sao cho tổng của chúng là số chính phương và tổng của bất cứ cặp nào cũng là số chính phươngs. (Diophantus tìm ra 80, 320, 41).
Bài 7, Quyển III: Tìm ba số hạng của một cấp số cộng sao cho tổng của bất cứ cặp nào cũng là số chính phương. (Diophantus tìm ra 120.5, 840.5, 1560.5)
Bài 13, Quyển III: Tìm ba số sao cho tích của hai số bất kì cộng với số thứ ba là một số chính phương.
Bài 10, Quyển IV: Tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng tổng lập phương của chúng. (Diophantus tìm ra 5/7 và 8/7).
Bài 21, Quyển IV: Tìm ba số hạng của một cấp số nhân sao cho hiệu của bất cứ hai số hạng nào cũng là một số chính phương. (Diophantus tìm ra 81/7, 144/7, 256/7)
Bài 1, Quyển VI: Tìm ba cạnh một tam giác vuông sao cho độ dài cạnh huyền trừ đi mỗi cạnh góc vuông là một số lập phương. (Diophantus tìm ra 40-96-104).

Những bài toán đại số vô định trong đó ta chỉ phải tìm những nghiệm hữu tỉ được gọi là bài toán Diophantus. Tuy nhiên, theo quan điểm hiện đại, ta chỉ xét phương trình với những nghiệm số là nguyên. Thật không đúng khi cho rằng Diophantus là người đã nghĩ ra những dạng toán đó nhưng chính ông mới là người thừa hưởng một tài năng xuất chúng để giải các bài toán đó.

Chúng tôi khép lại bài thuyết trình này bằng cách nhắc lại bài toán nổi tiếng nhất của Diophantus. Bài số 8, Quyển II nói: “Chia một số chính phương thành hai số chính phương”, tức giải phương trình nguyên: a² + b² = c². Bài toán này ta đã biết cách giải và có vô số nghiệm nguyên, gọi là những số Pythagoras.

Khi đọc đến phần này, Fermat viết vào lề của quyển sách những dòng đáng ngờ như sau:

“Còn phương trình nguyên aⁿ + bⁿ = cⁿ với n > 2 đều là phương trình vô nghiệm. Tôi đã nghĩ ra một cách chứng minh tuyệt vời định lí này nhưng lề trang hẹp quá không đủ chỗ viết ra được” .

Bài toán này mệnh danh là “định lí cuối cùng của Fermat”, và việc ông có chứng minh được nó thật không vẫn còn là một bí ẩn. Sau khi ông mất, rất nhiều các nhà toán học lớn đã lao vào giải bài toán nhưng không có ai thành công. Chính bản thân Fermat đã chứng minh định lí khi n = 4, còn Euler đã chứng minh với n = 3. Năm 1825, Dirichlet và Legendre chứng minh định lí khi n = 5, và năm 1839 Lamé chứng minh khi n = 7. Năm 1908, nhà toán học Đức Wolfskehl gởi 100.000 mác đến Hàn Lâm Viện Khoa Học trao giải thưởng cho ai chứng minh được định lí này. Kết quả là một cơn đại hồng thủy những bài giải đến từ đủ hạng người mong tìm chút danh tiếng và tiền tài. Hơn cả bài toán chia ba một góc [chỉ dùng thước kẻ và compa để chia ba một góc cho trước] hay cầu phương hình tròn [chỉ dùng thước và compa để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước], không có bài toán ám ảnh nhiều người và nhận được nhiều bài giải sai như bài toán này của Fermat. Cho đến trước năm 1995, định lí đã được chứng minh đúng khi n < 100.000. Người giáng một đòn “kết liễu” bài toán này là nhà toán học Andrews Wiles, giáo sư toán tại Đại học Princeton, sau hơn 358 năm thách thức các bộ óc siêu việt của nhân loại. Xem thêm tại mathworld